Question

如圖所示，在平面直角坐標系中有點A（-1，0），點B（4，0），以AB為直徑的半圓交y軸正半軸于點C．
（1）求點C的坐標；
（2）求過A，B，C三點的拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，若在拋物線上有一點D，使四邊形BOCD為直角梯形，求直線BD的解析式；
（4）設點M是拋物線上任意一點，過點M作MN⊥y軸，交y軸于點N．若在線段AB上有且只有一點P，使∠MPN為直角，求點M的坐標．

Answer 1

分析：（1）已知了A、B的坐標，即可求出OA、OB的長，根據相交弦定理的推論即可求出OC的長，也就求出了C點的坐標．
（2）已知了三點的坐標，可用待定系數法求拋物線的解析式．
（3）要使四邊形BOCD為直角梯形，那么CD∥OB，直線CD與拋物線的交點即為D點．根據拋物線的對稱性即可得出D點的坐標．然后用待定系數法求出直線BD的解析式．
（4）已知在線段AB上有且只有一點使∠MPN為直角，如果以MN為直徑作圓，那么P點必為圓和線段AB的切點．而MN∥x軸，因此三角形MPN是等腰直角三角形，因此M點的橫坐標為縱坐標絕對值的2倍，然后分M在x軸上方或x軸下方兩種情況分別代入拋物線的解析式中進行求解即可．

解答：解：（1）C點的坐標為（0，2）；理由如下：
如圖，連接AC，CB．依相交弦定理的推論可得OC²=OA•OB，
解得OC=2．
故C點的坐標為（0，2）．

（2）設拋物線解析式為y=a（x+1）（x-4）．
把點C（0，2）的坐標代入上式得a=-

1

2

．
∴拋物線解析式是y=-

1

2

x²+

3

2

x+2．

（3）如圖，過點C作CD∥OB，交拋物線于點D，則四邊形BOCD為直角梯形．
由（2）知拋物線的對稱軸是x=

3

2

，
∴點D的坐標為（3，2）．
設過點B，點D的解析式是y=kx+b．
把點B（4，0），點D（3，2）的坐標代入上式得

4k+b=0 3k+b=2

解之得

k=-2 b=8

∴直線BD的解析式是y=-2x+8．

（4）解：依題意可知，以MN為直徑的半圓與線段AB相切于點P．
設點M的坐標為（m，n）．
①當點M在第一或第三象限時，m=2n．
把點M的坐標（2n，n）代入拋物線的解析式得n²-n-1=0，
解之得n=

1± 5

2

．
∴點M的坐標是（1+

5

，

1+ 5

2

）或（1-

5

，

1- 5

2

）．
②當點M在第二或第四象限時，m=-2n．
把點M的坐標（-2n，n）代入拋物線的解析式得n²+2n-1=0，
解之得n=-1±

2

．
∴點M的坐標是（2-2

2

，-1+

2

）或（2+2

2

，-1-

2

）．
綜上，滿足條件的點M的坐標是（1+

5

，

1+ 5

2

），（1-

5

，

1- 5

2

），
（2-2

2

，-1+

2

），（2+2

2

，-1-

2

）．

點評：本題考查了相交弦定理、二次函數解析式的確定、梯形的判定和性質、圓周角定理等知識點，綜合性強，考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．