Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝10，BC＝12，BC邊上的中線AD＝8．

（1）證明：△ABC為等腰三角形；

（2）點H在線段AC上，試求AH＋BH＋CH的最小值．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)19.6

【解析】

(1)由三角形的中線定義可知BD=DC=6，然后根據勾股定理的逆定理可證明△ABD為直角三角形，故AD⊥BC，則AD為BC的垂直平分線，依據線段垂直平分線的性質可知AB=AC;

(2)由題意可得到CH+AC=AC=10，故當BH最小時，AH+BH+CH有最小值，依據垂線段的性質可知當BH⊥AC時，BH有最小值，在△ABC中，依據面積法可求得BH的最小值．

(1)證明：∵AD是BC邊上的中線，

∴BD=DC=6，

∵AB=10，BD=6，AD=8，

∴BD2+AD2=62+82=102，

∴△ABD是直角三角形，

∴AD⊥BC，

∵AD⊥BC，BD=DC，

∴AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形．

(2)解：∵AH+BH+CH=BH+AC=BH+10，

∴當BH最小時，AH+BH+HC有最小值，

由垂線段的性質可知：當BH⊥AC時，BH有最小值，

∴，

∴，

∴BH=9.6，

∴AH+BH+HC的最小值為：10+9.6=19.6．