Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸交于，兩點(點在點的左側)，與軸交于點，經過點的直線與該拋物線交于另一點，并且直線軸，點為該拋物線上一個動點，點為直線上一個動點．

（1）當，且時，連接，，求證：四邊形是平行四邊形

（2）當時，連接，線段與線段交于點，，且，連接，求線段的長；

（3）連接，，試探究：是否存在點，使得與互為余角?若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）由二次函數的性質，先求出點A、B、C的坐標，然后得到點D的坐標，則得到與的值，把點P代入拋物線，求出m的值，由平行四邊形的判定，即可得到答案；

（2）由題意，表示PQ的長度，然后求出，，再由，得到，即可得到答案；

（3）根據題意，利用三角函數得到，然后分兩種情況進行分類討論：①當點在直線上方時，；②當點在直線下方時，，

；分別求出m的值，即可得到點P的坐標．

解：如圖：

（1）證明：當時，，

解得，

，

.

當時，，

.

∵直線軸，

∴直線的解析式為.

，

解得，

，

.

∵點在直線上，

.

，

，點在該拋物線上，

解得或 (舍去).

∵直線軸，

，

，

，

∴四邊形是平行四邊形.

（2）兩點的橫坐標都是，

∴直線軸，

設，則，

，

解得：或.

，

，.

∵直線軸，

，

∴，

，

，

,

，

；

（3）假設存在點，使得與互為余角，即.

，

.

，

連接.

∵直線軸，直線軸，

是直角三角形，且.

①當點在直線上方時，

(i)若點在軸左側，則，

.

，解得 (舍去)， (舍去).

(ii)若點在軸右側，則，

.

，解得 (舍去)，.

，

②當點在直線下方時，，

，解得 (舍去)，

，

；

綜上，存在點，使得與互為余角．