Question

如圖，點A、B分別為拋物線y=x²+bx+4、y=x²-2x+c與y軸交點，兩條拋物線都經過點C（6，0）．點P、Q分別在拋物線y=x²+bx+4、y=x²-2x+c上，點P在點Q的上方，PQ平行y軸．設點P的橫坐標為m．
（1）求b和c的值．
（2）求以A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形時m的值．
（3）當m為何值時，線段PQ的長度取得最大值？并求出這個最大值．
（4）直接寫出線段PQ的長度隨m增大而減小的m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）把點C的坐標代入兩拋物線解析式，計算即可求出b、c的值；
（2）求出A、B的坐標，然后求出AB的長度，再根據點P的橫坐標利用拋物線解析式表示出點P、Q的坐標，然后表示出PQ的長度，根據平行四邊形的對邊平行且相等列出方程，然后求解即可得到m的值；
（3）根據線段PQ的表達式轉化為頂點式解析式，再利用二次函數的最值問題解答即可；
（4）根據PQ的表達式的頂點式形式，利用二次函數的增減性解答即可．
解答：解：（1）∵兩條拋物線都經過點C（6，0），
∴-×6²+6b+4=0，
解得b=，
×6²-2×6+c=0，
解得c=6；

（2）根據題意，點A的坐標為（0，4），點B的坐標為（0，6），
所以，AB=2，
∵點P的橫坐標為m，
∴P（m，-m²+m+4），
∵PQ∥y軸，
∴點Q（m，m²-2m+6），
∴PQ=（-m²+m+4）-（m²-2m+6）=-m²+m+4-m²+2m+6=-m²+m-2，
∴當PQ=AB時，-m²+m-2=2，
整理得，3m²-20m+24=0，
解得m₁=，m₂=，
故以A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，m的值為或；

（3）由（2）知，PQ=-m²+m-2=-（m-）²+，
所以，當m=時，線段PQ的長度最大，線段PQ的最大長度為；

（4）由（3）知，PQ=-（m-）²+，
所以，線段PQ的長度隨m增大而減小的m的取值范圍是≤m＜6．
點評：本題考查了二次函數的綜合題型，主要利用了待定系數法求二次函數解析式，平行四邊形的對邊平行且相等的性質，二次函數的最值問題，二次函數的增減性，綜合性較強，但難度不大，把點C的坐標代入函數解析式求出b、c的值是解題的關鍵，也是本題的突破口．