Question

【題目】探究與應用

（提出問題）

（1）如圖1，在等邊中，點是上的任意一點（不含端點、），連結，以為邊作等邊，連結．求證：．

（類比探究）

（2）如圖2，在等邊中，點是延長線上的任意一點（不含端點），其它條件不變，（1）中結論還成立嗎？請說明理由．

（拓展延伸）

（3）如圖3，在等腰中，，點是上的任意一點（不含端點、）連結，以為邊作等腰，使頂角．連結．試探究與的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）仍成立，理由見解析；（3），理由見解析

【解析】

（1）利用SAS可證明△BAM≌△CAN，繼而得出結論；

（2）也可以通過證明△BAM≌△CAN，得出結論，和（1）的思路完全一樣．

（3）首先得出∠BAC=∠MAN，從而判定△ABC∽△AMN，得到，根據∠BAM=∠BAC-∠MAC，∠CAN=∠MAN-∠MAC，得到∠BAM=∠CAN，從而判定△BAM∽△CAN，得出結論．

（1）證明：∵、是等邊三角形，

∴，，．

∴．

∵在和中，

，

∴．

∴．

（2）結論仍成立．理由如下：

∵、是等邊三角形，

∴，，．

∴．

∵在和中，

，

∴．

∴．

（3）．理由如下：

∵，頂角，

∴底角．

∴．

∴．

又∵，，

∴．

∴．

∴．