Question

（1997•天津）如圖，點I是△ABC的內心，AI交BC邊于D，交△ABC的外接圓于點E．
求證：（1）IE=BE；
      （2）IE是AE和DE的比例中項．

Answer 1

分析：（1）連接BI，根據I是△ABC的內心，得出∠1=∠2，∠3=∠4，再根據∠BIE=∠2+∠3，∠IBE=∠5+∠4，而∠5=∠1=∠2，得出∠BIE=∠IBE，即可證出IE=BE．
（2）根據（1）可得∠2=∠1=∠5，∠E=∠E，則△AEB∽△BED，

AE

BE

=

BE

DE

，再根據BE=IE，可得出

AE

IE

=

IE

DE

，即可證出IE是AE和DE的比例中項．

解答：證明：（1）連接BI，
∵I是△ABC的內心，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠BIE=∠1+∠3，
∠IBE=∠5+∠4，
而∠5=∠1=∠2，
∴∠BIE=∠IBE，
∴IE=BE．

（2）根據（1）可得：
∵∠2=∠1=∠5，∠E=∠E，
∴△AEB∽△BED，
∴

AE

BE

=

BE

DE

，
∵BE=IE，
∴

AE

IE

=

IE

DE

，
∴IE是AE和DE的比例中項．

點評：此題考查了三角形的內切圓與內心，用到的知識點是相似三角形的判定與性質、三角形的內心，關鍵是做出輔助線、證出三角形相似．