Question

【題目】如圖1，點A是線段BC上一點，△ABD，△AEC都是等邊三角形，BE交AD于點M，CD交AE于N．

（1）求證：BE=DC；

（2）求證：△AMN是等邊三角形；

（3）將△ACE繞點A按順時針方向旋轉90°，其它條件不變，在圖2中補出符合要求的圖形，并判斷（1）、（2）兩小題結論是否仍然成立，并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）證明見詳解；（3）（1）的結論成立，（2）的結論不成立，證明見詳解

【解析】

(1)根據等邊三角形的性質得到AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，則∠DAC=∠BAE,根據“SAS"可判斷△ABE≌△ADC，則BE= DC;
(2)由△ABE≌△ADC得到∠ABE=∠ADC，根據"AAS"可判斷△ABM≌△ADN(AAS)，則AM=AN;∠DAE=60°，根據等邊三角形的判定方法可得到△AMN是等邊三角形.
(3)判定結論1是否正確，也是通過證明△ABE≌△ADC求得，這兩個三角形中AB=AD，AE=AC，∠BAE和∠CAD都是60°+∠ACB，因此兩三角形就全等BE=CD，結論1正確；將△ACE繞點A按順時針方向旋轉90°，則∠DAC> 90°，因此三角形AMN絕對不可能是等邊三角形.

解：（1）∵△ABD，△AEC都是等邊三角形，

∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，

∴∠DAC=∠BAE，

在△ABE和△ADC中，，

∴△ABE≌△ADC（SAS），

∴BE=DC；

（2）由上述（1）證得：△ABE≌△ADC，

∴∠ABM=∠ADN．

在△ABM和△ADN中， ，

∴△ABM≌△ADN（AAS），

∴AM=AN．

∵∠DAE=60°，

∴△AMN是等邊三角形；

（3）∵△ABD，△AEC都是等邊三角形，

∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，

∴∠DAC=∠BAE，

在△ABE和△ADC中，，

∴△ABE≌△ADC（SAS），

∴BE=DC，∠ABE=∠ADC，

∵∠BAC=90°

∴∠MAN＞90°，

∵∠MAN≠60°，

∴△AMN不是等邊三角形，

∴（1）的結論成立，（2）的結論不成立．