Question

【題目】如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，拋物線經過原點，且與軸相交于點，點的橫坐標為6，拋物線頂點為點．

（1）求這條拋物線的表達式和頂點的坐標；

（2）過點作，在直線上點取一點，使得，求點的坐標；

（3）將該拋物線向左平移個單位，所得新拋物線與軸負半軸相交于點且頂點仍然在第四象限，此時點移動到點的位置，，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

（1）將點O，點A坐標代入解析式可求拋物線的表達式和頂點B的坐標；
（2）由點A，點B坐標可求直線AB解析式，即可求直線OP解析式為：y=x，設點Q（3k，4k），可證四邊形OQAP為等腰梯形，可得OB=QA，由兩點距離公式可求k的值，即可求點Q坐標；
（3）過點B分別做作x、y軸垂線，垂足分別為點E、F，由題意可證△BCF∽△BDE，可得，可得，可得，可得關于m的方程，即可求m的值．

（1）∵點、在拋物線上

∴，解得

∴拋物線的解析式為，

∴頂點B的坐標是；

（2）如圖，

∵，

∴直線AB解析式為：y=x-8，

∵

∴直線OP解析式為：y=x，

設點，

∵∠OBA=∠QAB＞∠OAB，
∴k＞0
∵OP平于AB，QA不平行于OB
∴四邊形OQAB為梯形
又∵∠QAB=∠OBA
∴四邊形OQAB為等腰梯形
∴QA=OB
∴（6-3k）2+（4k）2=25

∴或（舍去）

∴

（3）由（1）知

設拋物線向左平移個單位后的新拋物線表達式為

∵新拋物線與y軸負半軸相交于點C且頂點仍然在第四象限，設點C的坐標為C（0，c）
∴0＜m＜3，-4＜c＜0，
如圖，過點B分別做作x、y軸垂線，垂足分別為點E、F

∴且

∴∽

∴

∴

∴

∴

又∵

∴

∴

∴或者（舍去）

∴