Question

如圖，在∠ABC內有一點P，問：
（1）能否在BA、BC邊上各找到一點M、N，使△PMN的周長最短？若能，請畫圖說明；若不能，說明理由．
（2）若∠ABC=40°，在（1）問的條件下，能否求出∠MPN的度數？若能，請求出它的數值；若不能，請說明原因．

Answer 1

分析：（1）分別作點P關于BA和BC的對稱點P′和P′′，連接P′和P′′交BA和BC于M、N兩點即可．
（2）在四邊形BEPF中求出∠EPF的度數為140°，從而得出∠MPN+（∠MPP'+∠NPP''）=140°，∠MPN+（∠PMN+∠PNM）=∠MPN+2（∠MPP'+∠NPP''）=180°，解出即可得出答案．

解答：解：（1）能找到．
所作圖形如下：
．
（2）∵∠ABC=40°，
∴∠EPF=140°，
∵MP=MP'，NP=NP''，
∴∠PMN=∠MP'P+∠MPP'=2∠MPP'，∠MNP=∠NPP''+∠NP''P=2∠NPP''
又∵∠MPN+（∠MPP'+∠NPP''）=140°，∠MPN+（∠PMN+∠PNM）=∠MPN+2（∠MPP'+∠NPP''）=180°，
∴（∠MPP'+∠NPP''）=40°，∠MPN=100°．

點評：本題考查了利用軸對稱求解最短路徑的知識，關鍵是掌握此類題題目解答的步驟，①找其中一點的對稱點，②連接此對稱點與另外一點．