Question

【題目】閱讀下列材料：

問題：如圖所示，在正方形ABCD和BEFG中，點A，B，E在同一直線上，P是線段DF中點，連接PG，PC．

探究：當PG與PC的夾角為90°時，平行四邊形BEFG是正方形．

小聰同學的思路是：首先可以證明四邊形BEFG是矩形，然后延長GP交DC于點H，構造全等三角形，經過推理可以探索出問題答案．

請你參考小聰同學的思路，探究并解決這個問題．

（1）求證：四邊形BEFG是矩形；

（2）求證：PG與PC的夾角為90°時，四邊形BEFG是正方形．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】證明：（1）在正方形ABCD中，∠ABC=90°，

∴∠EBG=90°，

∵四邊形BEFG是平行四邊形，

∴平行四邊形BEFG是矩形，

（2）如圖，

延長GP交DC于點H，

∵在正方形ABCD和BEFG中，

∴AB∥DC，RE∥GF，

∴DC∥GF，

∴∠HDP=∠GFP，∠DHP=∠FGP，

∵點P是線段DF中點，

∴DP=FP，

∴△DHP≌△FGP，

∴DH=FG，HP=GP，

∵∠CPG=90°，

∴CH=CG，

在正方形ABCD中，DC=BC，

∴DH=BG，

∴BG=GF，

由（1）知，四邊形BEFG是矩形，

∴四邊形BEFG是正方形．