Question

（2012•歷下區一模）已知：如圖1，在DE上取一點A，以AD、AE為正方形的一邊在同一側作正方形ABCD和正方形AEFG，連接DG、BE，則線段DG、BE之間滿足DG=BE且DG⊥BE；

根據所給圖形完成以下問題的探索、證明和計算：
（1）如圖2，將正方形AEFG繞A點順時針旋轉α度，即∠BAG=α （0°＜α＜180°），那么（1）中的結論是否仍成立？若不成立請說明理由，若成立請給出證明．
（2）設正方形ABCD、AEFG的邊長分別是3和2，線段BD、DE、EG、GB所圍成封閉圖形的面積為S．當α變化時，S是否有最大值？若有，求出S的最大值及相應的α值．

Answer 1

分析：（1）根據正方形的性質可得到△DAG≌△BAE（SAS），且AD、AB夾角為90°，所以△BAE是△DAG順時針旋轉90°得到的．
（2）當α=90°時，點E、點G分別在BA、DA的延長線上，形成的圖形是一個等腰梯形BDEG，且面積最大，可以知道∠BAG=90°．

解答：解（1）∵四邊形ABCD、AEFG均為正方形，
∴∠DAB=∠GAE=90°，AD=AB，AG=AE，
∴∠DAB+∠BAG=∠GAE+∠BAG，
∴∠DAG=∠BAE，
①當α≠90°時，在△DAG和△BAE中，

DA=BA ∠DAG=∠BAE AG=AE

，
∴△DAG≌△BAE（SAS），
∴BE=DG，∠ADG=∠ABE，
設直線DG分別與直線BA、BE交于點M、N，
又∵∠AMD=∠BMN，∠ADG+∠AMD=90°，
∴∠ABE+∠BMN=90°，
∴∠BND=90°，
∴BE⊥DG，
②當α=90°時，點E、點G分別在BA、DA的延長線上，顯然BE=DG，且BE⊥DG．
（2）如圖2，當α=90°時，點E、點G分別在BA、DA的延長線上，形成的圖形是一個等腰梯形BDEG，
通過觀察比較可知，當α=90°時，S有最大值，
S=

1

2

×3×2×2+

1

2

×2×2+

1

2

×3×3=

25

2

∴當S取得最大值

25

2

時，α=90°．

點評：本題考查了正方形的性質，旋轉的判定性質的運用，三角形全等的判定即運用，以及有一個公共點的兩個正方形的對角線形成的圖形，其面積的最大值的問題．解答本題時運用旋轉知識結合圖形分析是解答本題的關鍵．