Question

如圖（1）（2），直線y=-x+4與兩坐標軸分別相交于A、B點，點M是線段AB上任意一點（A、B兩點除外），過M分別作MC⊥OA于點C，MD⊥OB于D．
（1）若點M的橫坐標是a，則點M的縱坐標是

-a+4

（用含a的代數式表示）
（2）當點M在AB上運動時，你認為四邊形OCMD的周長是否發生變化？并說明理由；
（3）當點M運動到什么位置時，四邊形OCMD的面積有最大值？最大值是多少？
（4）當四邊形OCMD為正方形時，將四邊形OCMD沿著x軸的正方向移動，設平移的距離為b（0＜b＜4），正方形O′CMD與△AOB重疊部分的面積為S．試求S與b的函數關系式并畫出該函數的圖象．

Answer 1

分析：（1）把當x=a時，代入直線的解析式即可求得縱坐標；
（2）點M的橫坐標為x，則點M的縱坐標為-x+4，利用P的坐標即可表示出四邊形OCMD的周長，然后對整式進行化簡即可求解；
（3）點M的橫坐標為x，則點M的縱坐標為-x+4，利用P的坐標即可表示出四邊形OCMD的面積即可表上成x的函數，利用函數的性質即可求得最值；
（4）分兩種情況進行討論，當重合部分是五邊形時，面積是正方形與△EFM的差；重合部分是三角形，利用三角形的面積公式即可得到函數解析式．

解答：解：（1）當x=a時，代入直線的解析式得：y=-a+4．
故答案是：-a+4；
（2）設點M的橫坐標為x，則點M的縱坐標為-x+4（0＜x＜4，x＞0，-x+4＞0）；
則：MC=|-x+4|=-x+4，MD=|x|=x；
∴C_{四邊形OCMD}=2（MC+MD）=2（-x+4+x）=8
∴當點M在AB上運動時，四邊形OCMD的周長不發生變化，總是等于8；
（3）根據題意得：S_{四邊形OCMD}=MC•MD=（-x+4）•x=-x²+4x=-（x-2）²+4
∴四邊形OCMD的面積是關于點M的橫坐標x（0＜x＜4）的二次函數，并且當x=2，即當點M運動到線段AB的中點時，四邊形OCMD的面積最大且最大面積為4；
（4）如圖（2），當0＜b≤2時，△MEF是等腰直角三角形，ME=b，．
則S=4-

1

2

b²=-

1

2

b²+4；
如圖10（3），當2≤b＜4時，△AGH是等腰直角三角形，AH=4-b，則S=

1

2

（4-b）²；
∴S與b的函數的圖象如下圖所示：

點評：本題考查了一次函數與二次函數的性質，正確列出函數解析式是關鍵．