Question

【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，二次函數(shù)y=x2+bx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，4），交x軸于點(diǎn)B（a，0）．
（1）求a與b的值；
（2）如圖1，點(diǎn)M為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線AB下方，試求出△ABM面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AM上的動(dòng)點(diǎn)，如圖2所示，問(wèn)AP為何值時(shí)，將△BPC沿邊PC翻折后得到△EPC，使△EPC與△APC重疊部分的面積是△ABP的面積的 ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（﹣1，4）代入y=x2+bx得到4=1﹣b，

∴b=﹣3，

∴y=x2﹣3x，

∵B（a，0）在函數(shù)圖象上，

∴a2﹣3a=0，

∴a=3或0（舍棄），

∴a=3

（2）

解：如圖1中，作MG∥y軸交AB于G．

設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，把（﹣1，4），（3，0）代入得 ，解得 ，

∴y=﹣x+3，設(shè)M（x，x2﹣3x），則G（m，﹣m+3），

∴S△ABM=S△AMG+S△BMG= ×4×[（﹣x+3）﹣（x2﹣3x）=﹣2x2+4x+6=﹣2（x﹣1）2+8，

∵﹣2＜0，

∴當(dāng)x=1時(shí)，△ABM的面積最大，最大值為8，

此時(shí)M（1，﹣2）．

（3）

解：如圖2中，連接AF．

∵C為AB中點(diǎn)，△EPC與△APC重疊部分的面積是△ABP的面積的 ，

∴F為AC與EP的中點(diǎn)，連接AE，

∴四邊形APCE是平行四邊形，

∴AP=EC=BC= AB=2

【解析】（1）把A（﹣1，4）代入y=x2+bx求出b，再把B（a，0）代入拋物線的解析式即可解決問(wèn)題．（2）如圖1中，作MG∥y軸交AB于G．設(shè)M（x，x2﹣3x），則G（m，﹣m+3），根據(jù)S△ABM=S△AMG+S△BMG構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題．（3）如圖2中，連接AF．只要證明四邊形APCE是平行四邊形，即可解決問(wèn)題．