Question

【題目】有這樣一個問題：探究同一坐標系中系數互為倒數的正、反比例函數與的圖象性質.小明根據學習函數的經驗，對函數與，當k>0時的圖象性質進行了探究，下面是小明的探究過程：

（1）如圖所示，設函數與圖像的交點為A,B.已知A的坐標為(-k，-1)，則B點的坐標為 .

(2)若P點為第一象限內雙曲線上不同于點B的任意一點.

①設直線PA交x軸于點M，直線PB交x軸于點N.求證：PM=PN.

證明過程如下：設P(m，)，直線PA的解析式為y=ax+b(a≠0).

則 解得

所以,直線PA的解析式為 ．

請把上面的解答過程補充完整，并完成剩余的證明.

②當P點坐標為(1,k)(k≠1)時，判斷ΔPAB的形狀，并用k表示出ΔPAB的面積.

Answer 1

【答案】（1）（k，1）；（2）①證明見解析；②ΔPAB為直角三角形.或.

【解析】

試題分析：（1）利用反比例函數的對稱性指：A點和B點關于原點對稱，從而求出B(k，1)

(2)①解方程組，直線PA的解析式為，求出M（m-k,0）;同理求出：N（m+k,0）,作PH⊥x軸，得H（m,0），∴MK=NK=k，最后利用線段垂直平分線線定理知PM=PN.

②分兩種情況討論：第一：當k＞1時，；

第二：當0＜k＜1時，.

試題解析：（1）B點的坐標為（k，1）

（2）①證明過程如下：設P(m，)，直線PA的解析式為y=ax+b(a≠0).

則 解得

所以,直線PA的解析式為．

令y=0，得x=m-k

∴M點的坐標為（m-k，0）

過點P作PH⊥x軸于H

∴點H的坐標為（m，0）

∴MH=xH-xM=m-(m-k)=k.

同理可得：HN=k

∴PM=PN

②由①知，在ΔPMN中，PM=PN

∴ΔPMN為等腰三角形，且MH=HN=k

當P點坐標為（1，k）時，PH=k

∴MH=HN=PH

∴∠PMH=∠MPH=45°，∠PNH=∠NPH=45°

∴∠MPN=90°，即∠APB=90°

∴ΔPAB為直角三角形.

當k>1時，如圖1，

=

=

當0<k<1時，如圖2，

=

=