Question

【題目】如圖1，已知拋物線y=﹣x2+x+與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，點D是點C關于拋物線對稱軸的對稱點，連接CD，過點D作DH⊥x軸于點H，過點A作AE⊥AC交DH的延長線于點E．

（1）求線段DE的長度；

（2）如圖2，試在線段AE上找一點F，在線段DE上找一點P，且點M為直線PF上方拋物線上的一點，求當△CPF的周長最小時，△MPF面積的最大值是多少；

（3）在（2）問的條件下，將得到的△CFP沿直線AE平移得到△C′F′P′，將△C′F′P′沿C′P′翻折得到△C′P′F″，記在平移過稱中，直線F′P′與x軸交于點K，則是否存在這樣的點K，使得△F′F″K為等腰三角形？若存在求出OK的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】(1)2 ;(2) ;(3)見解析.

【解析】分析：（1）根據解析式求得C的坐標，進而求得D的坐標，即可求得DH的長度，令y=0，求得A，B的坐標，然后證得△ACO∽△EAH，根據對應邊成比例求得EH的長，進繼而求得DE的長；

（2）找點C關于DE的對稱點N（4，），找點C關于AE的對稱點G（-2，-），連接GN，交AE于點F，交DE于點P，即G、F、P、N四點共線時，△CPF周長=CF+PF+CP=GF+PF+PN最小，根據點的坐標求得直線GN的解析式：y=x-；直線AE的解析式：y= -x-，過點M作y軸的平行線交FH于點Q，設點M（m，-m+m+），則Q（m，m-），根據S△MFP=S△MQF+S△MQP，得出S△MFP= -m+m+，根據解析式即可求得，△MPF面積的最大值；

（3）由（2）可知C（0，），F（0，），P（2，），求得CF=，CP=，進而得出△CFP為等邊三角形，邊長為，翻折之后形成邊長為的菱形C′F′P′F″，且F′F″=4，然后分三種情況討論求得即可．

本題解析：（1）對于拋物線y=﹣x2+x+，

令x=0，得y=，即C（0，），D（2，），

∴DH=，

令y=0，即﹣x2+x+=0，得x1=﹣1，x2=3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），

∵AE⊥AC，EH⊥AH，

∴△ACO∽△EAH，

∴=，即=，

解得：EH=，

則DE=2；

（2）找點C關于DE的對稱點N（4，），找點C關于AE的對稱點G（﹣2，﹣），

連接GN，交AE于點F，交DE于點P，即G、F、P、N四點共線時，△CPF周長=CF+PF+CP=GF+PF+PN最小，

直線GN的解析式：y=x﹣；直線AE的解析式：y=﹣x﹣，

聯立得：F （0，﹣），P（2，），

過點M作y軸的平行線交FH于點Q，

設點M（m，﹣m2+m+），則Q（m， m﹣），（0＜m＜2）；

∴S△MFP=S△MQF+S△MQP=MQ×2=MQ=﹣m2+m+，

∵對稱軸為：直線m=＜2，開口向下，

∴m=時，△MPF面積有最大值： ；

（3）由（2）可知C（0，），F（0，），P（2，），

∴CF=，CP==，

∵OC=，OA=1，

∴∠OCA=30°，

∵FC=FG，

∴∠OCA=∠FGA=30°，

∴∠CFP=60°，

∴△CFP為等邊三角形，邊長為，

翻折之后形成邊長為的菱形C′F′P′F″，且F′F″=4，

1）當K F′=KF″時，如圖3，

點K在F′F″的垂直平分線上，所以K與B重合，坐標為（3，0），

∴OK=3；

2）當F′F″=F′K時，如圖4，

∴F′F″=F′K=4，

∵FP的解析式為：y=x﹣，

∴在平移過程中，F′K與x軸的夾角為30°，

∵∠OAF=30°，

∴F′K=F′A

∴AK=4

∴OK=4﹣1或者4+1；

3）當F″F′=F″K時，如圖5，

∵在平移過程中，F″F′始終與x軸夾角為60°，

∵∠OAF=30°，

∴∠AF′F″=90°，

∵F″F′=F″K=4，

∴AF″=8，

∴AK=12，

∴OK=11，

綜上所述：OK=3，4﹣1，4+1或者11．