Question

【題目】如圖在直角坐標平面內，拋物線y=ax2+bx﹣3與y軸交于點A，與x軸分別交于點B（﹣1，0）、點C（3，0），點D是拋物線的頂點．

（1）求拋物線的表達式及頂點D的坐標；

（2）聯結AD、DC，求△ACD的面積；

（3）點P在直線DC上，聯結OP，若以O、P、C為頂點的三角形與△ABC相似，求點P的坐

標．

Answer 1

【答案】（1）y=（x﹣1）2﹣4，D的坐標是（1，﹣4）；（2）3；（3）P1（，﹣）或P2（2，﹣2）．

【解析】

(1)將B、C的坐標代入拋物線y=ax2+bx﹣3，即可求出表達式，將表達式寫成頂點式，即可直接寫出D點坐標.

(2)先求出△ACD三邊的長度，利用勾股定理逆定理判定△ACD是直角三角形，從而求出面積.

(3)先說明∠BAC=∠BCD，∠BCD即為△OPC中的∠OCP，接下來分情況討論另外有一對角相等時△OPC與△ABC.

解：（1）點B（﹣1，0）、C（3，0）在拋物線y=ax2+bx﹣3上，

∴，

解得：，

∴拋物線的表達式為：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

故頂點D的坐標是（1，﹣4）；

（2）∵A（0，﹣3），C（3，0），D（1，﹣4），

∴AC=3，CD=2，AD=，

∴CD2=AC2+AD2，

∴∠CAD=90°，

∴S△ACD=ACAD=×3×=3；

（3）∵∠CAD=∠AOB=90°，==，

∴△CAD∽△AOB，

∴∠ACD=∠OAB，

∵OA=OC，∠AOC=90°，

∴∠OAC=∠OCA=45°，

∴∠OAC+∠OAB=∠OCA+∠ACD，即∠BAC=∠BCD，

若以O、P、C為頂點的三角形與△ABC相似，且△ABC為銳角三角形，

則△POC也為銳角三角形，點P在第四象限，

由點C（3，0），D（1，﹣4）得直線CD的表達式是：y=2x﹣6，設P（t，2t﹣6）（0＜t＜3）

過P作PH⊥OC，垂足為點H，則OH=t，PH=6﹣2t，

①當∠POC=∠ABC時，由tan∠POC=tan∠ABC得=，

∴=3，

解得：t=，

∴P1（，﹣）；

②當∠POC=∠ACB時，由tan∠POC=tan∠ACB=tan45°=1，得=1，

∴=1，

解得：t=2，

∴P2（2，﹣2），

綜上得：P1（，﹣）或P2（2，﹣2）．

故答案為：（1）y=（x﹣1）2﹣4，D的坐標是（1，﹣4）；（2）3；（3）P1（，﹣）或P2（2，﹣2）．