Question

【題目】在中， ，點 (不與點重合)是線段上的一個動點，連接，以為邊在的右側作正方形，連接

（1）發現問題：如圖（1），若，則與的位置關系_________；

（2）拓展探究：如圖（2），若，（1）中的結論是否仍然成立?請說明理由；

（3）解決問題：若，設正方形的邊與線段相交于點，請直接寫出線段的最大值

Answer 1

【答案】（1）；（2）仍然成立，見解析；（3）1

【解析】

（1）由正切值可得∠ACB=45°，結合AB=AC，可知△ABC為等腰直角三角形，再利用正方形的性質可證明△BAD≌△CAF，進而得到∠ACF=45°，推出∠FCB=90°即可得證；

（2）過點作，交于點，同（1）可證CF⊥BD；

（3）過點作交的延長線于點，易證，設為，為，則，根據對應邊成比例建立y與x的函數關系，即可求出CP的最大值．

解：（1） ∵

∵，

∴

∵四邊形是正方形，

∴

∴，

∴，

在△BAD和△CAF中，

∵AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF

∴（SAS），

∴，

∴，

即．

（2）（1）中的結論仍然成立，理由如下：

如圖(1)，過點作，交于點，則．

∵，

∴．

∴，

∴

∵四邊形是正方形，

∴，

∴，

∴，

在△GAD和△CAF中，

∵AG=AC，∠GAD=∠CAF，AD=AF

∴（SAS），

∴，

∴，即．

∴（1）中的結論仍然成立．

（3）線段的最大值為1．

如圖(2)，過點作交的延長線于點．

∵

∴．

設為，為，則．

由（2）知， ，

∵∠ADE=90°

∴∠ADQ+∠CDP=90°

∵∠DPC+∠CDP=90°

∴∠ADQ=∠DPC

又∵∠AQD=∠DCP=90°，

∴，

∴，即，

∴，

∴當時， 有最大值1，

即線段的最大值為1．