Question

【題目】如圖，點P（x，y1）與Q（x，y2）分別是兩個函數圖象C1與C2上的任一點．當a≤x≤b時，有﹣1≤y1﹣y2≤1成立，則稱這兩個函數在a≤x≤b上是“相鄰函數”，否則稱它們在a≤x≤b上是“非相鄰函數”．例如，點P（x，y1）與Q（x，y2）分別是兩個函數y=3x+1與y=2x﹣1圖象上的任一點，當﹣3≤x≤﹣1時，y1﹣y2=（3x+1）﹣（2x﹣1）=x+2，通過構造函數y=x+2并研究它在﹣3≤x≤﹣1上的性質，得到該函數值的范圍是﹣1≤y≤1，所以﹣1≤y1﹣y2≤1成立，因此這兩個函數在﹣3≤x≤﹣1上是“相鄰函數”．

（1）判斷函數y=3x+1與y=2x+2在0≤x≤2上是否為“相鄰函數”，并說明理由；

（2）若函數y=x2﹣x與y=xa在0≤x≤2上是“相鄰函數”，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）函數y=3x+1與y=2x+2在0≤x≤2上是“相鄰函數”，理由見解析；

（2）若函數y=x2﹣x與y=xa在0≤x≤2上是“相鄰函數”，則a的取值范圍為≤a≤1．

【解析】分析：（1）通過構建函數y=x-1，根據一次函數的性質可得出該函數在0≤x≤2上單調遞增，分別代入x=0、x=2即可得出y的取值范圍，由此即可得出結論；（2）由函數y=-x與y=xa在0≤x≤2上是“相鄰函數”，構造函數y=-（a+1）x，根據拋物線的位置不同，令其最大值≤1、最小值≥-1，解關于a的不等式組即可得出結論．

本題解析：（1）函數y=3x+1與y=2x+2在0 ≤ x≤ 2上是“相鄰函數”，理由如下：

點P（x，y1）與Q　（x，y2）分別是兩個函數y=3x+1與y=2x+2圖象上的任一點，

當0≤ x≤ 2時，y1﹣y2=（3x+1）﹣（2x+2）=x﹣1，通過構造函數y=x﹣1并研究它在0≤ x≤ 2上的性質，得到該函數值的范圍是﹣1 ≤ y ≤1，所以﹣1 ≤ y1﹣y2 ≤1成立，

因此這兩個函數在0 ≤ x ≤2上是“相鄰函數”．

（2）∵函數y=x2﹣x與y= x a在0 ≤ x ≤2上是“相鄰函數”，

∴構造函數y=x2﹣（a+1）x，在0 ≤ x ≤2上﹣1 ≤ y ≤1．

根據拋物線y=x2﹣（a+1）x對稱軸的位置不同，來考慮：

①當≤0，即a≤﹣1時（圖1），

，解得：a≥ ，

∴此時無解；

②當0＜ ≤1，即﹣1＜a≤1時（圖2），

，解得： ≤a≤1，

∴≤a≤1；

③當1＜≤2，即1＜a≤3時（圖3），

，解得：﹣3≤a≤1，

∴此時無解；

④當2＜，即a＞3時（圖4），

，解得：a≤ ，

∴此時無解．

綜上可知：若函數y=x2﹣x與y=xa在0≤x≤2上是“相鄰函數”，則a的取值范圍為≤a≤1．