Question

【題目】如圖1，等邊△ABC為⊙O的內接三角形，點G和點F在⊙O上且位于點A的兩側，連接BF、CG交于點E，且BF=CG．

（1）求證：∠BEC=120°；
（2）如圖2，取BC邊中點D，連接AE、DE，求證：AE=2DE；
（3）如圖3，在（2）的條件下，過點A作⊙O的切線交BF的延長線于點H，若AE=AH=4，請求出⊙O的半徑長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1中，

∵BF=CG，

∴ =

∵△ABC是等邊三角形，

∴AC=BC，∠ACB=60°，

∴ = ，

∴ = ，

∴∠ACG=∠CBF，

∵∠GEB=∠FBC+∠ECB=∠ACE+∠ECB=60°，

∴∠BEC=180°﹣∠GEB=120°．

（2）證明：如圖2中，連接BG、AG、CF、AF、GF，GF與AE交于點M．

∵∠BEC=120°，

∴∠FEC=∠GEB=60°，

∵∠BGE=∠BAC=60°，∠EFC=∠BAC=60°，

∴△BGE，△EFC都是等邊三角形，

∵∠AFB=∠ACB=60°，

∴∠GEB=∠AFB=60°，

∴GE∥AF，同理BF∥AG，

∴四邊形AGEF是平行四邊形，

∴GM=MF，AM=ME，

∵∠GBF=∠BAC=60°，

∴ = ，

∵BD=CD，

∴MF=CD，

在△MFE和△DCE中，

，

∴△MFE≌△DCE，

∴ME=DE，

∴AE=2DE．

（3）解：如圖3中，在圖（2）的基礎上連接OC．

由（2）可知，△MFE≌△DCE，

∴∠FEM=∠CED，

∵AH=AE=4，

∴∠H=∠AEH，DE=2，

∴∠H=∠CED，

∵BG=GE=AF，

∴ = ，

∴∠ECD=∠ABH，

∴△AHB∽△DEC，

∴ = =2，設BE=x，EC=EF=y，BD=a，

∴BH=2EC，

∴FH=y﹣x，

∵∠HAF=∠ABH，∠H=∠H，

∴△HAF∽△HBA，

∴AH2=HFHB，

∴16=2y（y﹣x） ①

∵BD=CD，∴AD⊥BC，AD經過點O，

∵AH是切線，

∴AH⊥AD，

∴AH∥BC，

∴∠H=∠CBE，

∴∠CED=∠CBE，∵∠ECD=∠ECB，

∴△ECD∽△BCE，

∴EC2=CDCB，

∴y2=a2a，

∴a= y，

∵ = ，

∴ = ，

∴x=2 代入①中解得y= + （負根已經舍棄），

∴CD=a= （ + ）=1+ ，

在Rt△COD中，∵∠OCD=30°，

∴cos30°= ，

∴OC=

【解析】（1）利用“同圓中，等弦所對的劣弧相等”，得出∠GEB=∠FBC+∠ECB=∠ACE+∠ECB=60°，可求出∠BEC度數；（2）通過“連接BG、AG、CF、AF、GF，GF與AE交于點M“構造出四邊形AGEF，利用等弧所對的圓周角相等，可證出四邊形AGEF是平行四邊形，進而證得△MFE≌△DCE，ME=DE，AE=2DE；（3）可證出△AHB∽△DEC，△HAF∽△HBA，得出AH2=HFHB，求出y與a 的關系，再由AH是切線，證出△ECD∽△BCE，對應邊成比例，求出x,再利用30度角的余弦，得出OC與CD的關系，求出OC.