Question

【題目】如圖,在等邊△ABC中,D是邊AC上一點,連接BD,將△BCD繞點B逆時針旋轉60，得到△BAE，連接ED,若BC=5,BD=4,則有以下四個結論：①△BDE是等邊三角形；②AE∥BC；③△ADE的周長是9；④∠ADE=∠BDC。其中正確結論的序號是（ ）

A. ②③④ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③

Answer 1

【答案】D

【解析】

先由△BCD繞點B逆時針旋轉60°，得到△BAE得到BD=BE，∠DBE=60°，則可判斷△BDE是等邊三角形；根據等邊三角形的性質得BA=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，再根據旋轉的性質得到∠BAE=∠BCD=60°，∠BCD=∠BAE=60°，所以∠BAE=∠ABC=60°，則根據平行線的判定方法即可得到AE∥BC；根據等邊三角形的性質得∠BDE=60°，而∠BDC>60°，則可判斷∠ADE≠∠BDC；由△BDE是等邊三角形得到DE=BD=4，再利用△BCD繞點B逆時針旋轉60°，得到△BAE，則AE=CD，所以△AED的周長=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+BD．

∵△BCD繞點B逆時針旋轉60°，得到△BAE，

∴BD=BE,∠DBE=60°，

∴△BDE是等邊三角形，所以①正確；

∵△ABC為等邊三角形，

∴BA=BC,∠ABC=∠C=∠BAC=60°，

∵△BCD繞點B逆時針旋轉60°，得到△BAE，

∴∠BAE=∠BCD=60°,∠BCD=∠BAE=60°，

∴∠BAE=∠ABC,

∴AE∥BC，所以②正確；

∴∠BDE=60°，

∵∠BDC=∠BAC+∠ABD>60°，

∴∠ADE≠∠BDC，所以④錯誤；

∵△BDE是等邊三角形，

∴DE=BD=4，

而△BCD繞點B逆時針旋轉60°，得到△BAE，

∴AE=CD，

∴△AED的周長=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+4=5+4=9，所以③正確;

故選：D.