Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，PC切⊙O于點C，AB的延長線與PC交于點P，PC的延長線與AD交于點D，AC平分∠DAB．
（1）求證：AD⊥PC；
（2）連接BC，如果∠ABC=60°，BC=2，求線段PC的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OC，∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠BAC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠ACO，

∴∠DAC=∠ACO，

∴AD∥OC，

∵PC切⊙O于點C，

∴OC⊥PC，

∴AD⊥PC；

（2）解：∵∠ABC=60°，OC=OB，

∴△BOC是等邊三角形，

∴OC=2，

∴∠COP=60°，

∵PC切⊙O于點C，

∴∠OCP=90°，

∴PC=2 ．

【解析】（1）連接OC，根據角平分線的定義得到∠DAC=∠BAC，根據等腰三角形的性質得到∠OAC=∠ACO，推出AD∥OC，于是得到結論；（2）根據已知條件得到△BOC是等邊三角形，解直角三角形即可得到結論．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用切線的性質定理的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．