Question

（2012•肇慶）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交AC于點E，交BC于點D，連接BE、AD交于點P．求證：
（1）D是BC的中點；
（2）△BEC∽△ADC；
（3）AB•CE=2DP•AD．

Answer 1

分析：（1）由AB是⊙O的直徑，可得AD⊥BC，又由AB=AC，由三線合一，即可證得D是BC的中點；
（2）由AB是⊙O的直徑，∠AEB=∠ADB=90°，又由∠C是公共角，即可證得△BEC∽△ADC；
（3）易證得△ABD∽△BCE與△BPD∽△BCE，根據相似三角形的對應邊成比例與BC=2BD，即可證得AB•CE=2DP•AD．

解答：證明：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴D是BC的中點；

（2）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=∠ADB=90°，
即∠CEB=∠CDA=90°，
∵∠C是公共角，
∴△BEC∽△ADC；

（3）∵△BEC∽△ADC，
∴∠CBE=∠CAD，
∵AB=AC，BD=CD，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ADB=∠BEC=90°，
∴△ABD∽△BCE，
∴

AB

BC

=

AD

BE

，
∴

AB

AD

=

BC

BE

，
∵∠BDP=∠BEC=90°，∠PBD=∠CBE，
∴△BPD∽△BCE，
∴

DP

CE

=

BD

BE

，
∵BC=2BD，∴AB：AD=2BD：BE，
∴

AB

AD

=

2DP

CE

，
∴AB•CE=2DP•AD．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、圓周角定理以及等腰三角形的性質．此題難度適中，注意數形結合思想的應用．