Question

【題目】如圖，將矩形ABCD沿對角線AC剪開，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1 ， 連接AD1、BC1 ． 若∠ACB=30°，AB=1，CC1=x，△ACD與△A1C1D1重疊部分面積為S，則下列結論：
①△A1AD1≌△CC1B；
②當x=1時，四邊形ABC1D1是菱形；
③當x=2時，△BDD1為等邊三角形；
④S= （x﹣2）2（0≤x≤2）．
其中正確的是（將所有正確答案的序號都填寫在橫線上）

Answer 1

【答案】①②③
【解析】解：①∵四邊形ABCD為矩形，
∴BC=AD，BC∥AD
∴∠DAC=∠ACB
∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1 ，
∴∠A1=∠DAC，A1D1=AD，AA1=CC1 ，
在△A1AD1與△CC1B中，

故①正確；
②∵∠ACB=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AB=1，
∴AC=2，
∵x=1，
∴AC1=1，
∴△AC1B是等邊三角形，
∴AB=D1C1 ，
又AB∥D1C1 ，
∴四邊形ABC1D1是菱形，
故②正確；
③如圖所示：

則可得BD=DD1=BD1=2，
∴△BDD1為等邊三角形，故③正確．
④易得△AC1F∽△ACD，
∴ ，
解得： = （0＜x＜2）；故④錯誤；
綜上可得正確的是①②③．
所以答案是：①②③．
【考點精析】認真審題，首先需要了解矩形的性質(矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等)，還要掌握平移的性質(①經過平移之后的圖形與原來的圖形的對應線段平行（或在同一直線上）且相等，對應角相等，圖形的形狀與大小都沒有發生變化；②經過平移后，對應點所連的線段平行（或在同一直線上）且相等)的相關知識才是答題的關鍵．