Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D為BC的中點，點E、F分別在邊AB和邊AC上，且∠EDF=90°，則下列結論不一定成立的是（ ）

A．△ADF≌△BDE

B．S四邊形AEDF=S△ABC

C．BE+CF=AD

D．EF=AD

Answer 1

【答案】D

【解析】

試題分析：根據等腰直角三角形的性質得到AD=BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°，∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°，根據余角的性質得到∠BDE=∠ADF，于是得到△ADF≌△BDE，證得S△ADF=S△BDE，推出S四邊形AEDF=S△ADE+S△ADF=S△ADE+S△BDE﹣S△ABD，得到S四邊形AEDF=S△ABC，根據全等三角形的性質得到AF=BE，等量代換得到BE+CF=AF+CF=AC=AD，由等腰直角三角形的性質得到AD=BC，當EF∥BC時，EF=BC，而EF不一定平行于BC，即可得到結論．

解：∵∠BAC=90°，AB=AC，點D為BC的中點，

∴AD=BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°，∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°，

∵∠EDF=90°，

∴∠BDE+∠ADE=∠ADE+∠ADF=90°，

∴∠BDE=∠ADF，

在△ADF與△BDE中，，

∴△ADF≌△BDE，

∴S△ADF=S△BDE，

∵S四邊形AEDF=S△ADE+S△ADF=S△ADE+S△BDE﹣S△ABD，

∵S△ABD=S△ABC，

∴S四邊形AEDF=S△ABC，

∵△ADF≌△BDE，

∴AF=BE，

∴BE+CF=AF+CF=AC=AD，

∵AD=BC，

當EF∥BC時，EF=BC，

而EF不一定平行于BC，

∴EF不一定等于BC，

∴EF≠AD，

故選D．