Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點D、E在邊AB上，且∠DCE=45°

（1）以點C為旋轉中心，將△ADC順時針旋轉90°，畫出旋轉后的圖形；

（2）若AD=2，BE=3，求DE的長；

（3）若AD=1，AB=5，直接寫出DE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）DE=；（3）DE的長為．

【解析】

試題分析：（1）利用旋轉的性質作圖；

（2）連結EF，如圖，先根據等腰直角三角形的性質得∠A=∠ABC=45°，再根據旋轉的性質得CD=CF，BF=AD=2，∠DCF=90°，∠CBF=∠A=45°，則可根據“SAS”判斷△DCE≌△FCE，得到DE=FE，然后在△BEF中利用勾股定理計算EF，從而得到DE的長；

（3）設ED=x，則BE=4﹣x，由（2）的證明得到EF=DE=x，BF=AD=1，然后在Rt△BEF中利用勾股定理得到12+（4﹣x）2=x2，再解方程即可．

解：（1）如圖，△BCF為所作；

（2）連結EF，如圖，

∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠A=∠ABC=45°，

∵△ADC順時針旋轉90°得到△BCF，

∴CD=CF，BF=AD=2，∠DCF=90°，∠CBF=∠A=45°，

∵∠DCE=45°，

∴∠FCE=45°，

在△DCE和△FCE中

，

∴△DCE≌△FCE，

∴DE=FE，

在△BEF中，∵∠EBC=45°，∠CBF=45°，

∴∠EBF=90°，

∴EF==，

∴DE=；

（3）∵AD=1，AB=5，

∵BD=4，

設ED=x，則BE=4﹣x，

由（2）得EF=DE=x，BF=AD=1，

在Rt△BEF中，12+（4﹣x）2=x2，解得x=，

即DE的長為．