Question

23、已知a、b、c是△ABC的三邊，且滿足a⁴+b²c²=b⁴+a²c²，試判斷△ABC的形狀．閱讀下面解題過程：
解：由a⁴+b²c²=b⁴+a²c²得：
a⁴-b⁴=a²c²-b²c²①
（a²+b²）（a²-b²）=c²（a²-b²）         ②
即a²+b²=c²③
∴△ABC為Rt△．                ④
試問：以上解題過程是否正確：

不正確

若不正確，請指出錯在哪一步？（填代號）

③

錯誤原因是

漏掉了a=b時的情況

本題的結論應為

△ABC為等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形

．

Answer 1

分析：由于②到③時等式兩邊都除以了a²-b²，如果a²-b²=0，根據等式的性質可知，此時不一定有③成立．

解答：解：由a⁴+b²c²=b⁴+a²c²得：
a⁴-b⁴=a²c²-b²c²，
（a²+b²）（a²-b²）=c²（a²-b²），
∴（a²+b²）（a²-b²）-c²（a²-b²）=0，
∴（a²-b²）（a²+b²-c²）=0，
∴（a²-b²）=0或a²+b²-c²=0或（a²-b²）（a²+b²-c²）=0，
∴△ABC為等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．

點評：本題主要考查了等式的性質以及等腰三角形、直角三角形的判定．
等式的性質：等式的兩邊乘以或除以同一個不等于0的數，所得結果仍是等式．