Question

如圖是一個圓錐與其側面展開圖，已知圓錐的底面半徑是2，母線長是6．
（1）求這個圓錐的高和其側面展開圖中∠ABC的度數；
（2）如果A是底面圓周上一點，從點A拉一根繩子繞圓錐側面一圈再回到A點，求這根繩子的最短長度．

Answer 1

分析：（1）根據勾股定理直接求出圓錐的高，再利用圓錐側面展開圖弧長與其底面周長的長度關系，求出側面展開圖中∠ABC的度數即可；
（2）首先求出BD的長，再利用勾股定理求出AD以及AC的長即可．

解答：解：（1）圓錐的高=

62-22

=4

2

，
底面圓的周長等于：2π×2=

nπ×6

180

，
解得：n=120°；
                
（2）連結AC，過B作BD⊥AC于D，則∠ABD=60°．
由AB=6，可求得BD=3，
∴AD═3

3

，
AC=2AD=6

3

，
即這根繩子的最短長度是6

3

．

點評：此題考查了圓錐的計算；得到圓錐的底面圓的周長和扇形弧長相等是解決本題的突破點．