Question

【題目】如圖AC是⊙O的直徑，PA切⊙O于點A，點B是⊙O上的一點，且∠BAC=30°，

∠APB=60°.

（1）求證：PB是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為2，求PA及弦AB長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）PA=2，AB=2

【解析】（1）證明：連接OB.

∵OA=OB,∴∠OBA=∠BAC=30°

∴∠AOB=180°－30°－30°=120°

∵PA切⊙O于點A,

∴OA⊥PA,即∠OAP=90°.

∵四邊形的內角和為360°，

∴∠OBP=360°－90°－60°－120°=90°.

∴OB⊥PB.

又∵點B是⊙O上的一點，

∴PB是⊙O的切線.

（2）解：連接OP.∵PA、PB是⊙O的切線，∴PA=PB，∠OPA=

∠OPB=∠APB=30°.

在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠OPA=30°

∴OP=2OA=2×2=4，

∴PA= ==2

∵PA=PB,∠APB=60°,∴PA=PB=AB=2