Question

【題目】如圖，在ABCD中，AD∥BC，AC＝BC＝4，∠D＝90°，M，N分別是AB、DC的中點，過B作BE⊥AC交射線AD于點E，BE與AC交于點F．

(1)當∠ACB＝30°時，求MN的長：

(2)設線段CD＝x，四邊形ABCD的面積為y，求y與x的函數關系式及其定義域；

(3)聯結CE，當CE＝AB時，求四邊形ABCE的面積．

Answer 1

【答案】(1)MN＝2+；(2)y＝x2x(0＜x＜4)；(3)8或8．

【解析】

（1）解直角三角形求出AD，利用梯形中位線定理即可解決問題；
（2）求出AD，利用梯形的面積公式計算即可；
（3）作AG⊥BC于G，EH⊥BC于H．想辦法證明△ABC≌△ECB，推出AC=BE=4，因為AC⊥BE，可得S四邊形ABCE=ACBE，由此計算即可；

(1)∵AD∥BC，

∴∠DAC＝∠ACB＝30°，

在Rt△ACD中，∵AC＝4，∠D＝90°，∠ACD＝30°，

∴CD＝AC＝2，AD＝CD＝2，

∵AM＝BM，DN＝CN，

∴MN是梯形ABCD的中位線，

∴MN＝(AD+BC)＝2+．

(2)在Rt△ACD中，∵AC＝4，∠D＝90°，CD＝x，

∴AD＝＝，

∴y＝(AD+BC)CD＝(+4)x＝x+2x(0＜x＜4)．

(3)①當點E在線段AD上時，作AG⊥BC于G，EH⊥BC于H．

∵AD∥BC，AG⊥BC于G，EH⊥BC于H．

∴AG＝EH，∠AGB＝∠EHC＝90°，

∵AB＝EC，

∴Rt△ABG≌Rt△ECH，

∴∠ABC＝∠ECB，

∵AB＝EC，BC＝CB，

∴△ABC≌△ECB，

∴AC＝BE＝4，

∵AC⊥BE，

∴S四邊形ABCE＝ACBE＝×4×4＝8．

②當點E在AD的延長線上時，易證四邊形ABCE是平行四邊形，

∵BE⊥AC，

∴四邊形ABCE是菱形，

∵BC＝AC＝AB，

∴△ABC，△ACE是等邊三角形，

∴S四邊形ABCE＝2××42＝8．