Question

（2013•普洱）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-

1

2

x2+bx+c經過A（-2，0），C（4，0）兩點，和y軸相交于點B，連接AB、BC．
（1）求拋物線的解析式（關系式）．
（2）在第一象限外，是否存在點E，使得以BC為直角邊的△BCE和Rt△AOB相似？若存在，請簡要說明如何找到符合條件的點E，然后直接寫出點E的坐標，并判斷是否有滿足條件的點E在拋物線上；若不存在，請說明理由．
（3）在直線BC上方的拋物線上，找一點D，使S_△BCD：S_△ABC=1：4，并求出此時點D的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據函數圖象經過的兩點的坐標利用待定系數法確定二次函數的解析式即可；
（2）分當BC為斜邊時和當BC為直角邊時兩種情況確定點E的坐標即可；
（3）根據S_△ABC利用S_△BCD：S_△ABC=1：4，求得S_△BCD=

1

4

S_△ABC=

1

4

×12=3．設D的坐標為（x，-

1

2

x2+x+4），作DE⊥x軸于點E，利用S_△BCD=S_梯形BOED+S_△DCE-S_△BOC即可求得點D的坐標為（1，

9

2

）或（3，

5

2

）．

解答：解：（1）∵拋物線y=-

1

2

x2+bx+c經過A（-2，0），C（4，0）兩點，
∴

- 1 2 ×(-2)2+b×(-2)+c=0 - 1 2 ×42+b×4+c=0

，
解得

b=1 c=4

．
∴拋物線的解析式為y=-

1

2

x2+x+4．

（2）在第一象限外存在點E，使得以BC為直角邊的△BCE和Rt△AOB相似．
①當BC為斜邊時，
△BOC即為所找的△BCE是直角三角形，但是它與Rt△AOB不相似；
②當BC為直角邊時，
若點B為直角頂點，則點E的坐標為（-8，-4），此時點E不在拋物線上；
若點B為直角頂點，則點E的坐標為（-4，-8），此時點E在拋物線上．

（3）∵S_△ABC=

1

2

×6×4=12，S_△BCD：S_△ABC=1：4，
∴S_△BCD=

1

4

S_△ABC=

1

4

×12=3．
如圖所示，設在直線BC上方的拋物線上，找一點D的坐標為（x，-

1

2

x2+x+4），作DE⊥x軸于點E，則
S_△BCD=S_梯形BOED+S_△DCE-S_△BOC
=

1

2

×(-

1

2

x2+x+4+4)×x+

1

2

×(4-x)×(-

1

2

x2+x+4)-

1

2

×4×4=3．
即x²-4x+3=0，
解得x₁=1，xx₂=3．
∴點D的坐標為（1，

9

2

）或（3，

5

2

）．

點評：本題考查了二次函數的綜合知識，特別是題目中涉及到的將點的坐標轉化為線段的長更是解決二次函數知識的常用方法．