Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線C1：y=ax2+4x+4a（0＜a＜2）

（1）當C1與x軸有唯一一個交點時，求此時C1的解析式；
（2）如圖①，若A（1，yA），B（0，yB），C（﹣1，yC）三點均在C1上，連BC作AE∥BC交拋物線C1于E，求點E到y軸的距離；
（3）若a=1，將拋物線C1先向右平移3個單位，再向下平移2個單位得到拋物線C2 ， 如圖②，拋物線C2與x軸相交于點M、N（M點在N點的左邊），拋物線的對稱軸交x軸于點F，過點F的直線l與拋物線C2相交于P，Q（P在第四象限）且S△FMQ=2S△FNP ， 求直線l的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：根據題意得△=42﹣4a4a=0，解得a1=1，a2=﹣1，

而0＜a＜2，

所以a=1，

所以此時C1的解析式為y=x2+4x+4；

（2）

解：根據題意得A（1，5a+4），B（0，4a），C（﹣1，5a﹣4），

設直線BC的解析式為y=kx+4a，

把C（﹣1，5a﹣4）代入得﹣k+4a=5a﹣4，解得k=4﹣a，

∴直線BC的解析式為y=（4﹣a）x+4a，

∵BC∥AE，

∴AE的解析式可設為y=（4﹣a）x+n，

把A（1，5a+4）代入得4﹣a+n=5a+4，解得n=6a，

∴直線AE的解析式為y=（4﹣a）x+6a，

方程組 消去y得x2+x﹣2=0，解得x1=1，x2=﹣2，

∴E點的橫坐標為﹣2，

∴點E到y軸的距離為2；

（3）

解：作QA⊥x軸于A，PB⊥x軸于B，如圖，

當a=1時，y=x2+4x+4=（x+2）2，拋物線C1的頂點坐標為（﹣2，0），把點（﹣2，0）先向右平移3個單位，再向下平移2個單位得到對應點的坐標為（1，﹣2），

所以拋物線C2的解析式為y=（x﹣1）2﹣2，即y=x2﹣2x﹣1，則拋物線的對稱軸為直線x=1，所以F（1，0）

∵拋物線C2與x軸相交于點M、N（M點在N點的左邊），

∴FM=FN，

∵S△FMQ=2S△FNP，

∴QA=2PB，

∵AQ∥PB，

∴ =2，即FA=2BF，

設P（t，t2﹣2t﹣1），則BF=t﹣1，

∴AF=2（t﹣1），

∴OA=2（t﹣1）﹣1=2t﹣3，

∴Q[3﹣2t，（3﹣2t）2﹣2（3﹣2t）﹣1]

∴（3﹣2t）2﹣2（3﹣2t）﹣1=﹣2（t2﹣2t﹣1），

整理得t2﹣2t=0，解得t1=0（舍去），t2=2，

∴P（2，﹣1），Q（﹣1，2），

設直線PQ的解析式為y=px+q，

把P（2，﹣1），Q（﹣1，2）代入得 ，解得 ，

∴直線l的解析式為y=﹣x+1．

【解析】（1）根據△的意義和拋物線與x軸的交點問題得△=42﹣4a4a=0，然后解方程求出滿足條件的a的值，從而得到此時C1的解析式；（2）先用a表示出A（1，5a+4），B（0，4a），C（﹣1，5a﹣4），再利用待定系數法得到直線BC的解析式為y=（4﹣a）x+4a，根據兩直線平行問題，AE的解析式可設為y=（4﹣a）x+n，則把A（1，5a+4）代入得n=6a，所以直線AE的解析式為y=（4﹣a）x+6a，通過解方程組 可得E點和A點坐標，消去y得x2+x﹣2=0，然后解方程求出x即可得到E點的橫坐標，從而得到點E到y軸的距離；（3）作QA⊥x軸于A，PB⊥x軸于B，如圖，當a=1時，y=（x+2）2 ， 則拋物線C1的頂點坐標為（﹣2，0），利用拋物線的幾何變換得到拋物線C2的解析式為y=（x﹣1）2﹣2，即y=x2﹣2x﹣1，F（1，0），利用拋物線的對稱性得FM=FN，再利用三角形面積公式可得QA=2PB，利用平行線分線段成比例定理得FA=2BF，設P（t，t2﹣2t﹣1），則BF=t﹣1，AF=2（t﹣1），則OA=2（t﹣1）﹣1=2t﹣3，所以Q[3﹣2t，（3﹣2t）2﹣2（3﹣2t）﹣1]，然后利用AQ=2PB得到（3﹣2t）2﹣2（3﹣2t）﹣1=﹣2（t2﹣2t﹣1），解得t1=0（舍去），t2=2，于是得到P（2，﹣1），Q（﹣1，2），最后利用待定系數法確定直線l的解析式．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的圖象的相關知識點，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點才能正確解答此題．