Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，將△ABC繞點A逆時針旋轉，得到△ADE，旋轉角為α（0°＜α＜90°），連接BD交CE于點F．

（1）如圖2，當α＝45°時，求證：CF＝EF；

（2）在旋轉過程中，①問（1）中的結論是否仍然成立？證明你的結論；②連接CD，當△CDF為等腰直角三角形時，求tan的值．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) ① 成立,理由見解析;②

【解析】

(1)如圖中，由∠EAC＝∠DAB，AE＝AC，AD＝AB，可得∠AEC＝∠ACE＝∠ADB＝∠ABD，繼而可得FD＝FC，再根據∠EDC＝90°，繼而可推導得出∠FED＝∠FDE，可得FE＝FD，即可求得EF＝FC；

(2)①如圖1中，結論仍然成立．理由：連接AF，由旋轉的性質可推導得出∠FCA＝∠ABF，從而可得A，B，C，F四點共圓，繼而根據圓內接四邊形的性質可求得∠AFC＝90°，有AF⊥EC，再根據AE＝AC，即可求得EF＝CF；

②分CF＝CD，∠FCD＝90°和DF＝DC，∠CDF＝90°兩種情況分別進行討論即可得.

(1)如圖中，

∵∠EAC＝∠DAB，AE＝AC，AD＝AB，

∴∠AEC＝∠ACE＝∠ADB＝∠ABD，

∵∠ADB＝∠CDF，

∴∠FDC＝∠FCD，

∴FD＝FC，

∵∠EDC＝90°，

∴∠DEF+∠ECD＝90°，∠FDE+∠FDC＝90°，

∴∠FED＝∠FDE，

∴FE＝FD，

∴EF＝FC．

(2)①如圖1中，結論仍然成立．

理由：連接AF．

∵AB=AD，AE=AC，

∴∠ABD=∠ADB，∠ACE=∠EAC，

又∵∠BAD=∠CAE，∠ABD+∠ADB+∠BAD=180°，∠ACE+∠EAC+∠CAE=180°，

∴∠FCA＝∠ABF，

∴A，B，C，F四點共圓，

∴∠AFC+∠ABC＝180°，

∵∠ABC＝90°，

∴∠AFC＝90°，

∴AF⊥EC，

∵AE＝AC，

∴EF＝CF．

②如圖3﹣1中，當CF＝CD，∠FCD＝90°時，連接AF，作CH⊥BF于H．設CF＝CD＝a．

則DE＝，DF＝a，

∵CF＝CD，CH⊥DF，

∴HF＝HD，

∴CH＝DF＝a，

∴BC＝DE＝a，

∴BH＝，

∵AE＝AC，EF＝CF，

∴AF平分∠EAC，

∵A，B，C，F四點共圓，

∴∠CAF＝∠CBH＝α，

∴tanα＝＝；

如圖3﹣2中，當DF＝DC，∠CDF＝90°時，作DH⊥CF于H，連接AF．設CD＝DF＝m．

則CF＝EF＝a，DH＝CF＝m，

∴DE＝BC＝m，

∴BD＝＝2m，

∴tanα＝＝．