Question

【題目】已知，AB是⊙O的直徑，點P在弧AB上（不含點A、B），把△AOP沿OP對折，點A的對應點C恰好落在⊙O上．

（1）當P、C都在AB上方時（如圖1），判斷PO與BC的位置關系（只回答結果）；

（2）當P在AB上方而C在AB下方時（如圖2），（1）中結論還成立嗎？證明你的結論；

（3）當P、C都在AB上方時（如圖3），過C點作CD⊥直線AP于D，且CD是⊙O的切線，證明：AB=4PD．

Answer 1

【答案】（1）平行（2）成立（3）AB=4PD

【解析】

試題分析：（1）PO與BC的位置關系是平行；

（2）（1）中的結論成立，理由為：由折疊可知三角形APO與三角形CPO全等，根據全等三角形的對應角相等可得出∠APO=∠CPO，再由OA=OP，利用等邊對等角得到∠A=∠APO，等量代換可得出∠A=∠CPO，又根據同弧所對的圓周角相等得到∠A=∠PCB，再等量代換可得出∠CPO=∠PCB，利用內錯角相等兩直線平行，可得出PO與BC平行；

（3）由CD為圓O的切線，利用切線的性質得到OC垂直于CD，又AD垂直于CD，利用平面內垂直于同一條直線的兩直線平行得到OC與AD平行，根據兩直線平行內錯角相等得到∠APO=∠COP，再利用折疊的性質得到∠AOP=∠COP，等量代換可得出∠APO=∠AOP，再由OA=OP，利用等邊對等角可得出一對角相等，等量代換可得出三角形AOP三內角相等，確定出三角形AOP為等邊三角形，根據等邊三角形的內角為60°得到∠AOP為60°，由OP平行于BC，利用兩直線平行同位角相等可得出∠OBC=∠AOP=60°，再由OB=OC，得到三角形OBC為等邊三角形，可得出∠COB為60°，利用平角的定義得到∠POC也為60°，再加上OP=OC，可得出三角形POC為等邊三角形，得到內角∠OCP為60°，可求出∠PCD為30°，在直角三角形PCD中，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半可得出PD為PC的一半，而PC等于圓的半徑OP等于直徑AB的一半，可得出PD為AB的四分之一，即AB=4PD，得證．

試題解析：（1）PO與BC的位置關系是PO∥BC；

（2）（1）中的結論PO∥BC成立，理由為：

由折疊可知：△APO≌△CPO，

∴∠APO=∠CPO，

又∵OA=OP，

∴∠A=∠APO，

∴∠A=∠CPO，

又∵∠A與∠PCB都為所對的圓周角，

∴∠A=∠PCB，

∴∠CPO=∠PCB，

∴PO∥BC；

（3）∵CD為圓O的切線，

∴OC⊥CD，又AD⊥CD，

∴OC∥AD，

∴∠APO=∠COP，

由折疊可得：∠AOP=∠COP，

∴∠APO=∠AOP，

又OA=OP，∴∠A=∠APO，

∴∠A=∠APO=∠AOP，

∴△APO為等邊三角形，

∴∠AOP=60°，

又∵OP∥BC，

∴∠OBC=∠AOP=60°，又OC=OB，

∴△BCO為等邊三角形，

∴∠COB=60°，

∴∠POC=180°﹣（∠AOP+∠COB）=60°，又OP=OC，

∴△POC也為等邊三角形，

∴∠PCO=60°，PC=OP=OC，

又∵∠OCD=90°，

∴∠PCD=30°，

在Rt△PCD中，PD=PC，

又∵PC=OP=AB，

∴PD=AB，即AB=4PD．