Question

【題目】如圖，在矩形中， ＝8， ＝6，動點從點出發，沿以2 的速度向終點勻速運動，同時點從點出發，沿→以4 的速度向點勻速運動，到達點后，繼續沿→以3 的速度向終點勻速運動.連結，以、為邊作□，連結交于點，設點的運動時間為（），□與矩形重疊部分圖形的面積為.

（1）當點在點上，△是等腰三角形時，求的值.

（2）當點在邊上，△與△相似時，求的值.

（3）求與之間的函數關系式.

（4）當△是等腰三角形時，直接寫出的值.

Answer 1

【答案】（1） ；（2）；（3）當時， ； 當時， ；當時， （4）， ， ．

【解析】試題分析：

(1) 由于△APQ為等腰直角三角形，所以AQ=AP. 根據對已知條件和動點的運動過程的分析，可以用x表示出線段AQ與AP的長. 根據AQ=AP可以得到一個關于x的方程，解這個方程即可得到滿足條件的x值.

(2) 題干中給出的相似三角形有△CFQ∽△CAD與△CFQ∽△CDA兩種情況. 需要據此分兩種情況求解. 在第一種情況下，可以判定四邊形APQD為平行四邊形. 利用x表示出線段DQ與AP的長，可以得到一個關于x的方程，解這個方程即可得到滿足條件的x值. 在第二種情況下，可以得到△CFQ與△AFP均為直角三角形. 在這兩個直角三角形中，利用銳角三角函數可以得到線段CQ，AP以及AC的長度關系. 利用此關系列出方程求解即可.

(3) 分析題意可知，在PQ⊥AB之前，平行四邊形BPQE與矩形ABCD重疊部分的面積為梯形BPQC的面積；在PQ⊥AB之后，平行四邊形BPQE與矩形ABCD重疊部分的面積為平行四邊形BPQE的面積，但是平行四邊形BPQE面積的變化規律與點Q在線段CD還是AD上有關. 當點Q在線段CD上時，平行四邊形BPQE的高不變；當點Q在線段AD上時，平行四邊形BPQE的高隨x的增大而減小. 根據上述分析，分三種情況討論即可.

(4) 綜合分析可知，△APF為等腰三角形有三種情況. 第一種情況下，AP=FP. 通過計算可以發現，當點Q在CD上時，線段AF的長是一個定值. 因此，通過等腰三角形“三線合一”的性質構造直角三角形，利用線段AF的長和銳角三角函數可以獲得線段AP的長，進而獲得x的值. 第二種情況下，AF=AP. 由線段AF的長容易得到線段AP的長，進而獲得x的值. 第二種情況下，AF=PF. 在這種情況下，可以通過銳角三角函數的定義，利用線段AQ和AP的長度表達式，列出方程求解.

試題解析：

(1) 根據題意畫出下列示意圖.

∵△APQ為等腰直角三角形，

又∵在矩形ABCD中，∠BAD=90°，

∴AP=AQ.

∵點P的運動時間為x (s)，點P的運動速度為2 (cm/s)，

∴AP=2x (cm).

∵當點Q在線段AD上時，點Q的運動路程為CD+DQ，

∵在線段CD上，點Q的運動速度為4 (cm/s)，

又∵在矩形ABCD中，CD=AB=8cm，

∴點Q完成在線段CD上的運動需要2 (s).

∵點Q與點P同時開始運動，

∴點Q的運動時間為x (s)，

∵在線段AD上，點Q的運動速度為3 (cm/s)，

∴DQ=3(x-2) (cm)，

∵在矩形ABCD中，AD=BC=6cm，

∴AQ=AD-DQ=6-3(x-2) (cm).

由AP=2x (cm)，AQ =6-3(x-2) (cm)，AP=AQ，可列關于x的方程：

2x=6-3(x-2)，

解之，得

(s).

∵點Q完成在線段CD上的運動需要2 (s)，點P與點Q完成全部運動均需要4 (s)，

∴在本小題中， ，

∴符合題意.

故當點Q在邊AD上，△APQ是等腰直角三角形時，x的值為.

(2) 分析題意可知，本小題應分以下兩種情況分別求解.

①當△CFQ∽△CAD時，

∵△CFQ∽△CAD，

∴∠CFQ=∠CAD，

∴FQ∥AD，

∵在矩形ABCD中，AB∥CD，即AP∥DQ，

∴四邊形APQD為平行四邊形，

∴AP=QD.

∵在線段CD上，點Q的運動速度為4 (cm/s)，點Q的運動時間為x (s)，

∴CQ=4x (cm)，

∴QD=CD-CQ=8-4x (cm)，

由AP=2x (cm)，QD=8-4x (cm)，AP=QD，可列關于x的方程：

2x=8-4x，

解之，得

(s).

∵點Q完成在線段CD上的運動需要2 (s)，

∴在本小題中， ，

∴符合題意.

②當△CFQ∽△CDA時，

∵△CFQ∽△CDA，

∴∠CFQ=∠CDA，

∵在矩形ABCD中，∠CDA=90°，

∴∠CFQ=∠CDA=90°，

∴△CFQ與△AFP均為直角三角形.

∵AD=6cm，CD=8cm，

∴在Rt△CDA中， (cm)，

∴在Rt△CDA中， .

∵CQ=4x (cm)，

∴在Rt△CFQ中， (cm).

∵在矩形ABCD中，AB∥CD，

∴∠PAF=∠ACD，

∵AP=2x (cm)，

∴在Rt△AFP中， (cm).

由AF+CF=AC，可列關于x的方程：

，

解之，得

(s).

∵在本小題中， ，

∴不符合題意.

綜上所述，當點Q在邊CD上，△CFQ與△CAD相似時，x的值為.

(3) ∵當PQ⊥AB時，AP=QD，

又∵AP=2x (cm)，QD=8-4x (cm)，

∴ (s).

又∵點Q完成在線段CD上的運動需要2 (s)，

∴本小題應分別在， ， 三種情況下求解.(示意圖如下)

①當時，平行四邊形BPQE與矩形ABCD重疊部分的面積y為梯形BPQC的面積.(如圖①)

∵AB=8(cm)，AP=2x(cm)，

∴PB=8-2x(cm)，

∵CQ=4x(cm)，PB=8-2x(cm)，BC=6(cm)，

∴.

②當時，平行四邊形BPQE與矩形ABCD重疊部分的面積y為平行四邊形BPQE的面積.(如圖②)

∵QE=PB=8-2x(cm)，BC=6(cm)，

∴.

③當時，平行四邊形BPQE與矩形ABCD重疊部分的面積y為平行四邊形BPQE的面積.(如圖③)

∵DQ=3(x-2) (cm)，

∴AQ=AD-DQ=6-3(x-2) (cm).

∵PB=8-2x(cm)，AQ=6-3(x-2) (cm)，

∴.

綜上所述，y與x之間的函數關系式為：

①當時， ；

②當時， ；

③當時， .

(4) 當△APF為等腰三角形時，x的值為， ， . 求解過程如下.

綜合分析可知，△APF為等腰三角形有如下圖所示的三種情況.

①若在圖①所示的情形下，則AP=FP.

過點P作PG⊥AF，垂足為G.

∵在矩形ABCD中，AB∥CD，

∴當點Q在CD上時，△APF∽△CQF，

∵當點Q在CD上時，CQ=4x(cm)，

又∵AP=2x (cm)，

∴當點Q在CD上時， ，

∴當點Q在CD上時，

∵AC=10 (cm)，

∴當點Q在CD上時， (cm).

∵AP=FP，PG⊥AF， (cm)，

∴ (cm)，

∵，

∴在Rt△AGP中， (cm)，

∵AP=2x (cm)，

∴ (s).

②若在圖②所示的情形下，則AP=AF.

∵點Q在CD上，

∴ (cm)，

∵AP=2x (cm)，

∴ (s).

③若在圖③所示的情形下，則AF=PF.

∵AF=PF，

∴在△AFP中，∠FPA=∠PAF.

∵，

∴.

∵AP=2x (cm)，AQ=6-3(x-2) (cm)，

∴在Rt△PAQ中， ，

∴ (s).

綜上所述，當△APF為等腰三角形時，x的值為， ， .