Question

已知：如圖，△ABC、△ABE內接于⊙O，AD是BC邊上的高，且AC•BE=AE•CD
求證：AE是⊙O的直徑．

Answer 1

分析：要求證：AE是⊙O的直徑，只要求證所對的圓周角是直角就可以，可以通過相似三角形證得（△ACD∽△AEB），得到∠ABE是直角即可證得AE是直徑．

解答：證明：∵AC•BE=AE•CD，
∴

AC

AE

=

CD

BE

．
又∵∠C=∠E，
∴△ACD∽△AEB．
∴∠ADC=∠ABE．
∴∠ABE=90°．
∴AE是⊙O的直徑．

點評：本題主要考查了90度的圓周角所對的弦是直徑與相似三角形的判定與性質．