Question

【題目】如圖,Rt△ACB中,∠ACB=90°，AC=BC，E點為射線CB上一動點，連接AE，作AF⊥AE且AF=AE.

(1)如圖1，過F點作FD⊥AC交AC于D點，求證：EC+CD=DF；

(2)如圖2,連接BF交AC于G點,若 =3，求證：E點為BC中點；

(3)當E點在射線CB上,連接BF與直線AC交于G點,若,則=_______

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；（2）答案見解析；（3）.

【解析】

（1）通過全等三角形△ADF≌△EDA的對應邊相等得到：AD=CD，FD=AC，則利用等量代換和圖形中相關線段間的和差關系證得結論；

（2）過F點作FD⊥AC交AC于D點，根據（1）中結論可得FD=AC=BC，即可證明△FGD≌△BCD，可得DG=CG，根據=3可證，根據AD=CE，AC=BC，即可解題；（3）過F作FD⊥AG的延長線交于點D，易證 ，由（1）（2）可知△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，可得CG=GD，AD=CE，即可求得的值，即可解題．

證明：（1）如圖1，∵∠FAD+∠CAE=90°，∠FAD+∠F=90°，

∴∠CAE=∠AFD，

在△ADF和△ECA中， ，

∴△ADF≌△ECA（AAS），

∴AD=CD，FD=AC，

∴CE+CD=AD+CD=AC=FD，即EC+CD=DF；

證明：（2）如圖2，

過F點作FD⊥AC交AC于D點，

∵△ADF≌△ECA，

∴FD=AC=BC，

在△FDG和△BCG中， ，

∴△FDG≌△BCG（AAS），

∴GD=CG，

∵ =3

∴

∴，

∵AD=CE，AC=BC

∴ ，

∴E點為BC中點；

（3）過F作FD⊥AG的延長線交于點D，如圖3，

∵ ，BC=AC，CE=CB+BE，

∴，

由（1）（2）知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，

∴CG=GD，AD=CE，

∴ ，

∴ ．