Question

【題目】如圖，將矩形OABC放在平面直角坐標系中，O為原點，點A在x軸的正半軸上，B（8，6），點D是射線AO上的一點，把△BAD沿直線BD折疊，點A的對應點為A′．

（Ⅰ）若點A′落在矩形的對角線OB上時，OA′的長=　 　；

（Ⅱ）若點A′落在邊AB的垂直平分線上時，求點D的坐標；

（Ⅲ）若點A′落在邊AO的垂直平分線上時，求點D的坐標（直接寫出結果即可）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）6；（Ⅱ）D（8﹣2，0）；（Ⅲ）點D的坐標為（3﹣1，0）或（﹣3﹣1，0）．

【解析】分析：（Ⅰ）由點B的坐標知OA=8、AB=6、OB=10，根據折疊性質可得BA=BA′=6，據此可得答案；

（Ⅱ）連接AA′，利用折疊的性質和中垂線的性質證△BAA′是等邊三角形，可得∠A′BD=∠ABD=30°，據此知AD=ABtan∠ABD=2，繼而可得答案；

（Ⅲ）分點D在OA上和點D在AO延長線上這兩種情況，利用相似三角形的判定和性質分別求解可得．

詳解：（Ⅰ）如圖1，由題意知OA=8、AB=6，∴OB=10，由折疊知，BA=BA′=6，∴OA′=6．

故答案為：6；

（Ⅱ）如圖2，連接AA′．

∵點A′落在線段AB的中垂線上，∴BA=AA′．

∵△BDA′是由△BDA折疊得到的，

∴△BDA′≌△BDA，∴∠A′BD=∠ABD，A′B=AB，

∴AB=A′B=AA′，∴△BAA′是等邊三角形，

∴∠A′BA=60°，∴∠A′BD=∠ABD=30°，

∴AD=ABtan∠ABD=6tan30°=2，

∴OD=OA﹣AD=8﹣2，

∴點D（8﹣2，0）；

（Ⅲ）①如圖3，當點D在OA上時．

由旋轉知△BDA′≌△BDA，∴BA=BA′=6，∠BAD=∠BA′D=90°．

∵點A′在線段OA的中垂線上，∴BM=AN=OA=4，∴A′M===2，

∴A′N=MN﹣A′M=AB﹣A′M=6﹣2，

由∠BMA′=∠A′ND=∠BA′D=90°知△BMA′∽△A′ND，

則=，即=，

解得：DN=3﹣5，

則OD=ON+DN=4+3﹣5=3﹣1，

∴D（3﹣1，0）；

②如圖4，當點D在AO延長線上時，過點A′作x軸的平行線交y軸于點M，延長AB交所作直線于點N， 則BN=CM，MN=BC=OA=8，由旋轉知△BDA′≌△BDA，∴BA=BA′=6，∠BAD=∠BA′D=90°．

∵點A′在線段OA的中垂線上，∴A′M=A′N=MN=4，

則MC=BN==2，∴MO=MC+OC=2+6，

由∠EMA′=∠A′NB=∠BA′D=90°知△EMA′∽△A′NB，

則=，即=，

解得：ME=，則OE=MO﹣ME=6+．

∵∠DOE=∠A′ME=90°、∠OED=∠MEA′，

∴△DOE∽△A′ME，

∴=，即=，

解得：DO=3+1，則點D的坐標為（﹣3﹣1，0）．

綜上，點D的坐標為（3﹣1，0）或（﹣3﹣1，0）．