Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，點D是AB邊上一點（不與A、B重合），若過點D的直線截得的三角形與△ABC相似，并且平分△ABC的周長，則AD的長為____．

Answer 1

【答案】、 、

【解析】

根據直線平分三角形周長得出線段的和差關系，再通過四種情形下的相似三角形的性質計算線段的長.

解：設過點D的直線與△ABC的另一個交點為E，

∵AC＝4，BC＝3，∴AB==5

設AD=x，BD=5-x，

∵DE平分△ABC周長，∴周長的一半為（3+4+5）÷2=6，

分四種情況討論：

①△BED∽△BCA，如圖1，BE=1+x

∴，即：，

解得x=，

②△BDE∽△BCA，如圖2，BE=1+x

∴，即：，

解得：x=，

BE=>BC，不符合題意.

③△ADE∽△ABC，如圖3，AE=6-x

∴，即，

解得：x=，

④△BDE∽△BCA，如圖4，AE=6-x

∴，即：，

解得：x=，

綜上：AD的長為、 、 .