Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若動點P從點C開始出發，按C→A→B→C的路徑運動，且速度為每秒2cm，設出發的時間為t秒．

（1）填空：AC= cm；

（2）若點P恰好在∠ABC的角平分線上，求t的值；

（3）當t為何值時，△BPC為等腰三角形?

Answer 1

【答案】（1）8；（2）t=1.5;（3）3s或6s或5.4s或 6.5s.

【解析】

（1）根據勾股定理直接求解即可;

（2）過點P作PD⊥AB于點D，由HL證明Rt△BPD≌Rt△BPC，得出BD=BC=6cm，因此AD=10-6=4cm，根據題意可得PC=2t cm，則PA=（8-2t）cm，由勾股定理得出方程，解方程即可；

（3）利用分類討論的思想和等腰三角形的特點及三角形的面積求出答案．

（1）在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，

由勾股定理可得: ,

故答案為:8.

（2）如圖所示，過點P作PD⊥AB于點D，

∵BP平分∠CBA，

∴PD=PC．

在Rt△BPD與Rt△BPC中，

PD＝PC ,BP＝BP ，

∴Rt△BPD≌Rt△BPC（HL），

∴BD=BC=6 cm，

∴AD=10-6=4 cm．

由題意可得PC=2t cm，則PA=（8-2t）cm ,

在Rt△APD中，PD2+AD2=PA2，

即(2t)2+42=（8-2t）2，

解得：t=1.5，

∴當t=1.5秒時，BP平分∠CBA；

（3）如圖，

若P在邊AC上時，BC=CP=6cm，

此時用的時間為3s，△BCP為等腰三角形；

若P在AB邊上時，有3種情況：

① 如圖，

若使BP=CB=6cm，此時AP=4cm，P運動的路程為12cm，

所以用的時間為6s，故t=6s時△BCP為等腰三角形；

② 如圖，

若CP=BC=6cm，過C作斜邊AB的高，根據面積法求得高為4.8cm，

根據勾股定理求得BP=7.2cm， 所以P運動的路程為18-7.2=10.8cm，

∴t的時間為5.4s，△BCP為等腰三角形；

③ 如圖，

若BP=CP時，則∠PCB=∠PBC，

∵∠ACP+∠BCP=90°，∠PBC+∠CAP=90°，

∴∠ACP=∠CAP，

∴PA=PC,

∴PA=PB=5cm,

∴P的路程為13cm，所以時間為6.5s時，△BCP為等腰三角形．

∴t=3s或6s或5.4s或 6.5s 時△BCP為等腰三角形．