Question

如圖1，正△ABC和正△FDE，F與B重合，AB與FD在一條直線上．
（1）若將△FDE繞點B旋轉一定角度（如圖2），試說明CD=AE；
（2）已知AB=6，DE=，把圖1中的△FDE繞點B逆時針方向旋轉90°（如圖3），試判斷四邊形EBDC的形狀，并說明你的理由；
（3）若把圖1中的正△FDE沿BA方向平移（如圖4），連接AE、BE，已知正△ABC和正△FDE的邊長分別是5cm和cm，問在平移過程中，△ABE是否會成為等腰三角形？若能，直接寫出FB的值；若不能，說明理由．       

Answer 1

【答案】分析：（1）利用“SAS”證明AE、CD所在的三角形△ABE≌△CBD即可；
（2）設DE，BC交于O點，△FDE繞點B逆時針方向旋轉90°時，∠DBA=90°，又∠CBA=60°，則∠DBC=30°=∠EBC，由等邊三角形的性質可知BC垂直平分DE，解直角三角形求BO，證明DE垂直平分BC即可；
（3）會．根據運動過程中，△ABE為等腰三角形時，分AB=BE，BE=AE，AE=AB三種情況分別求解．
解答：證明：（1）如圖2，
∵AB=BC，∠ABE=∠ABC-∠EBC=60°-∠EBC=∠CBD，BE=BD，
∴△ABE≌△CBD，
∴CD=AE；

解：（2）四邊形EBDC為菱形．
理由：如圖3，設DE，BC交于O點，
∵△FDE繞點B逆時針方向旋轉90°時，∠DBA=90°，又∠CBA=60°，
∴∠DBC=30°=∠EBC，∴BC垂直平分DE，
在Rt△DBO中，BO=BD•cos30°=2×=3=AB，
∴DE垂直平分BC，
對角線互相垂直平分的四邊形為菱形，
∴四邊形EBDC為菱形；

（3）△ABE會成為等腰三角形，此時FB=1+或2.5+或9+或4+．
點評：本題考查了菱形的性質，旋轉、平移的性質．關鍵是根據兩個等邊三角形的特殊性，證明全等三角形，解直角三角形．