Question

數學活動---求重疊部分的面積．
問題情境：數學活動課上，老師出示了一個問題：
如圖1，將兩塊全等的直角三角形紙片△ABC和△DEF疊放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，頂點D與邊AB的中點重合，DE經過點C，DF交AC于點G．求重疊部分（△DCG）的面積．

（1）獨立思考：請回答老師提出的問題．
（2）合作交流：“希望”小組受此問題的啟發，將△DEF繞點D旋轉，使DE⊥AB交AC于點H，DF交AC于點G，如圖2，你能求出重疊部分（△DGH）的面積嗎？請寫出解答過程．
（3）提出問題：老師要求各小組向“希望”小組學習，將△DEF繞點D旋轉，再提出一個求重疊部分面積的問題．
“愛心”小組提出的問題是：如圖3，將△DEF繞點D旋轉，DE，DF分別交AC于點M，N，使DM=MN，求重疊部分（△DMN）的面積．
任務：①請解決“愛心”小組提出的問題，直接寫出△DMN的面積是______．
②請你仿照以上兩個小組，大膽提出一個符合老師要求的問題，并在圖4中畫出圖形，標明字母，不必解答（注：也可在圖1的基礎上按順時針旋轉）．

Answer 1

【答案】分析：（1）確定點G為AC的中點，從而△ADC為等腰三角形，其底邊AC=8，底邊上的高GD=BC=3，從而面積可求；
（2）本問解法有多種，解答中提供了三種不同的解法．基本思路是利用相似三角形、勾股定理求解；
（3）①對于愛心小組提出的問題，如答圖4所示，作輔助線，利用相似三角形、勾股定理、等腰三角形的性質，列方程求解；
②本問要求考生自行提出問題，答案不唯一，屬于開放性問題．
解答：解：（1）【獨立思考】
∵∠ACB=90°，D是AB的中點，
∴DC=DA=DB，∴∠B=∠DCB．
又∵△ABC≌△FDE，∴∠FDE=∠B．
∴∠FDE=∠DCB，∴DG∥BC．
∴∠AGD=∠ACB=90°，∴DG⊥AC．
又∵DC=DA，∴G是AC的中點，
∴CG=AC=×8=4，DG=BC=×6=3，
∴S_△DGC=CG•DG=×4×3=6．

（2）【合作交流】
解法一：如下圖所示：

∵△ABC≌△FDE，∴∠B=∠1．
∵∠C=90°，ED⊥AB，
∴∠A+∠B=90°，∠A+∠2=90°，
∴∠B=∠2，∴∠1=∠2，
∴GH=GD．
∵∠A+∠2=90°，∠1+∠3=90°，
∴∠A=∠3，∴AG=GD，
∴AG=GH，即點G為AH的中點．
在Rt△ABC中，AB===10，
∵D是AB中點，∴AD=AB=5．
在△ADH與△ACB中，∵∠A=∠A，∠ADH=∠ACB=90°，
∴△ADH∽△ACB，∴，即，解得DH=，
∴S_△DGH=S_△ADH=××DH•AD=××5=．
解法二：同解法一，G是AH的中點．
連接BH，∵DE⊥AB，D是AB中點，

∴AH=BH．設AH=x，則CH=8-x．
在Rt△BCH中，CH²+BC²=BH²
即：（8-x）²+36=x²，解得x=．
∴S_△ABH=AH•BC=××6=．
∴S_△DGH=S_△ADH=×S_△ABH=×=．
解法三：同解法一，∠1=∠2．
連接CD，由（1）知，∠B=∠DCB=∠1，
∴∠1=∠2=∠B=∠DCB．
∴△DGH∽△BDC．
過點D作DM⊥AC于點M，CN⊥AB于點N．

∵D是AB的中點，∠ACB=90°，
∴CD=AD=BD，∴點M是AC的中點，
∴DM=BC=×6=3．
在Rt△ABC中，AB===10，AC•BC=AB•CN，
∴CN===．
∵△DGH∽△BDC，
∴，
∴S_△DGH=•S_△BDC=•BD•CN
∴S_△DGH=××5×=．

（3）【提出問題】
①解決“愛心”小組提出的問題．
如答圖4，過點D作DK⊥AC于點K，則DK∥BC，
又∵點D為AB中點，
∴DK=BC=3．

∵DM=MN，∴∠MND=∠MDN，由（2）可知∠MDN=∠B，
∴∠MND=∠B，又∵∠DKN=∠C=90°，
∴△DKN∽△ACB，
∴，即，得KN=．
設DM=MN=x，則MK=x-．
在Rt△DMK中，由勾股定理得：MK²+DK²=MD²，
即：（x-）²+3²=x²，解得x=，
∴S_△DMN=MN•DK=××3=．
②此題答案不唯一，示例：如答圖5，將△DEF繞點D旋轉，使DE⊥BC于點M，DF交BC于點N，求重疊部分（四邊形DMCN）的面積．

點評：本題是幾何綜合題，考查了相似三角形、全等三角形、等腰三角形、勾股定理、圖形面積計算、解方程等知識點．題干信息量大，篇幅較長，需要認真讀題，弄清題意與作答要求．試題以圖形旋轉為背景，在旋轉過程中，重疊圖形的形狀與面積不斷發生變化，需要靈活運用多種知識予以解決，有利于培養同學們的研究與探索精神，激發學習數學的興趣，是一道好題．