Question

數學活動——求重疊部分的面積。

問題情境：數學活動課上，老師出示了一個問題：

如圖，將兩塊全等的直角三角形紙片△ABC和△DEF疊放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，頂點D與邊AB的中點重合，DE經過點C，DF交AC于點G。

求重疊部分（△DCG）的面積。

（1）獨立思考：請解答老師提出的問題。

（2）合作交流：“希望”小組受此問題的啟發，將△DEF繞點D旋轉，使DE⊥AB交AC于點H，DF交AC于點G，如圖(2)，你能求出重疊部分(△DGH)的面積嗎？請寫出解答過程。

（3）提出問題：老師要求各小組向“希望”小組學習，將△DEF繞點D旋轉，再提出一個求重疊部分面積的問題。“愛心”小組提出的問題是：如圖(3)，將△DEF繞點D旋轉，DE，DF分別交AC于點M，N，使DM=MN求重疊部分(△DMN)的面積、

任務：①請解決“愛心”小組所提出的問題，直接寫出△DMN的面積是    

②請你仿照以上兩個小組，大膽提出一個符合老師要求的問題，并在圖中畫出圖形，標明字母，不必解答（注：也可在圖（1）的基礎上按順時針方向旋轉）。

Answer 1

【解析】解：∵∠ACB=90°D是AB的中點,

∴DC=DB=DA,∴∠B=∠DCB

又∵△ABC≌△FDE，∴∠FDE=∠B

∴∠FDE=∠DCB,∴DG∥BC∴∠AGD=∠ACB=90°∴DG⊥AC

又∵DC=DA,∴G是AC的中點,

∴CG=AC=×8=4,DG=BC=×6=3

∴S_DCG=×CG·DG=×4×3=6

（25題（2））

【解析】解法一：

∵△ABC≌△FDE,∴∠B=∠1

∵∠C=90°,ED⊥AB,∴∠A+∠B=90°, ∠A+∠2=90°,

∴∠B=∠2,∴∠1=∠2

∴GH=GD

∵∠A+∠2=90°,∠1+∠3=90°

∴∠A=∠3,∴AG=GD，∴AG=GH

∴點G是AH的中點，

在Rt△ABC中，AB= 10

∵D是AB的中點，∴AD=AB=5

在△ADH與△ACB中，∵∠A =∠A，∠ADH=∠ACB=90°,

∴△ADH∽△ACB, ∴=,=,∴DH=,

∴S_△DGH＝S_△ADH＝××DH·AD=××5=

（25題（2））

解法二：同解法一，G是AH的中點，

連接BH，∵DE⊥AB，D是AB的中點，∴AH=BH，設AH=x則CH＝８-ｘ

在Rt△BCH中，CH2+BC2=BH2，即（8-x）2+36=x2，解得x=

∴S△ABH=AH·BC=××6=

（25題（2））

∴S_△ＤＧＨ=S_△ADH=× S_△ABH=×=.

解法三：同解法一，∠1=∠2

連接CD，由（1）知，∠B=∠DCB=∠1，∠1=∠2=∠B=∠DCB，△DGH∽△BDC,

作DM⊥AC于點M，CN⊥AB于點N，∵D是AB的中點，∠ACB=90°

∴CD=AD=BD，∴點M是AC的中點，∴DM=BC=×6=3

在Rt△ABC中，AB==10，AC·BC=AB·CN，

∴CN＝.

∵△DGH∽△BDC, ∴,

∴=

∴

（25題（3））

（25題（4））

【答案】①

②注：此題答案不唯一，語言表達清晰、準確得1分，畫圖正確得1分，重疊部分未涂陰影不扣分。示例：如圖，將△DEF繞點D旋轉，使DE⊥BC于點M，DF交AC于點N，求重疊部分（四邊形DMCN）的面積。