Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，△AOP為等邊三角形，A（0，5），點B為y軸正半軸上一動點，以BP為邊作如圖所示等邊△PBC．CA的延長線交x軸交于E．

（1）求證：OB＝AC；

（2）求∠CAP的度數；

（3）當B點運動時，AE的長度是否發生變化？若不發生變化，請求出AE的值，若發生變化，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠CAP＝60°；（3）不發生變化，理由見解析．

【解析】

（1）利用等邊三角形的性質可知∠OPB＝∠APC，然后可證△PBO≌△PCA，則可證OB＝AC

（2）由全等三角形的性質可知∠PBO＝∠PCA，根據∠BAC＝∠BPC＝60°及平角的定義即可求出∠CAP的度數.

（3）根據∠EAO＝∠BAC＝60°可知∠AEO，從而可知AE＝2AO，所以AE的長度不發生變化.

（1）證明：∵△BPC和△AOP是等邊三角形，

∴OP＝AP，BP＝PC，∠APO＝60°，∠CPB＝60°，

∴∠APO+∠APB＝∠BPC+∠APB，即∠OPB＝∠APC，

在△PBO和△PCA中，

∴△PBO≌△PCA （SAS），

∴OB＝AC；

（2）解：由（1）知，△PBO≌△PCA，

∴∠PBO＝∠PCA，

∴∠BAC＝∠BPC＝60°，

又∠OAP＝60°，

∴∠CAP＝60°；

（3）解：當B點運動時，AE的長度不發生變化，

理由如下：∵∠EAO＝∠BAC＝60°，∠AOE＝90°，

∴∠AEO＝30°，

∴AE＝2AO＝2，

即當B點運動時，AE的長度不發生變化．