Question

（2008•廈門）如圖，在直角梯形OABD中，DB∥OA，∠OAB=90°，點O為坐標原點，點A在x軸的正半軸上，對角線OB，AD相交于點M．OA=2，AB=2，BM：MO=1：2．
（1）求OB和OM的值；
（2）求直線OD所對應的函數關系式；
（3）已知點P在線段OB上（P不與點O，B重合），經過點A和點P的直線交梯形OABD的邊于點E（E異于點A），設OP=t，梯形OABD被夾在∠OAE內的部分的面積為S，求S關于t的函數關系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于∠OAB=90°，OA=2，AB=2，所以OB=4；
因為=，所以=，OM=．
（2）由（1）得：OM=，即BM=．由于DB∥OA，易證==，故DB=1，D（1，2）．故過OD的直線所對應的函數關系式是y=2x．
（3）依題意：當0＜t≤時，E在OD邊上，分別過E，P作EF⊥OA，PN⊥OA，垂足分別為F和N，由于tan∠PON==，故∠PON=60°，OP=t，故ON=t，PN=t，直線OD所對應的函數關系式是y=2x，
設E（n，2）易證得△APN∽△AEF，故=，故n=，由此，S_△OAE=OA•EF=×2×2×，
∴S=（0＜t≤）；
當＜t＜4時，點E在BD邊上，此時，S_梯形OABD=S_△ABE+S_梯形OAED，
由于DB∥OA，易證：∴△EPB∽△APO，
∴=，
∴=，BE=，
可分別求出三角形的值．
解答：解：（1）∵∠OAB=90°，OA=2，AB=2，
∴OB=4，
∵=，
∴=，
∴OM=．

（2）由（1）得：OM=，
∴BM=，
∵DB∥OA，易證==，
∴DB=1，D（1，2），
∴過OD的直線所對應的函數關系式是y=2x．

（3）依題意：當0＜t≤時，E在OD邊上，
分別過E，P作EF⊥OA，PN⊥OA，垂足分別為F和N，
∵tan∠PON==，∴∠PON=60°，
OP=t．∴ON=t，PN=t，
∵直線OD所對應的函數關系式是y=2，
設E（n，2）易證得△APN∽△AEF，
∴=，
∴=，
整理得：=，
∴8n-2nt=2t-nt，
∴8n-nt=2t，n（8-t）=2t，
∴n=．
由此，S_△OAE=OA•EF=×2×2×，
∴S=（0＜t≤），
當＜t＜4時，點E在BD邊上，
此時，S_梯形OABD=S_△ABE+S_梯形OAED，
∵DB∥OA，
易證：△EPB∽△APO，
∴=，
∴=，
BE=，
S_△ABE=BE•AB=××2=×2==，
∴S=（1+2）×2-×2=3-×2=-+5，
綜上所述：S=．

（3）解法2：①∵∠AOB=90°，OA=2，AB=2，
易求得：∠ABO=30°，∴OB=4．
解法2：分別過E，P作EF⊥OA，PN⊥OA，垂足分別為F和N，
由①得，∠OBA=30°，
∵OP=t，
∴ON=t，PN=t，
即：P（t，t），又（2，0），
設經過A，P的直線所對應的函數關系式是y=kx+b，
則，
解得：k=，b=，
∴經過A，P的直線所對應的函數關系式是y=x+．
依題意：當0＜t≤時，在OD邊上，
∴E（n，2n），在直線AP上，
∴-+=2n，
整理得：-=2n，
∴n=，
∴S=（0），
當＜t＜4時，點E在BD上，此時，點E坐標是（n，2），因為E在直線AP上，
∴-+=2，
整理得：+=2∴8n-nt=2t，
∴n=，
BE=2-n=2-=，
∴S=（1+2）×2-×2=3-×2=-+5，
綜上所述：S=．
點評：本題比較復雜，難度較大，把一次函數的解析式與解直角三角形，三角形相似的性質結合起來，鍛煉了學生對所學知識的應用能力．