Question

（2008•廈門）如圖，在直角梯形OABD中，DB∥OA，∠OAB=90°，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，對(duì)角線OB，AD相交于點(diǎn)M．OA=2，AB=2，BM：MO=1：2．
（1）求OB和OM的值；
（2）求直線OD所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（3）已知點(diǎn)P在線段OB上（P不與點(diǎn)O，B重合），經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)P的直線交梯形OABD的邊于點(diǎn)E（E異于點(diǎn)A），設(shè)OP=t，梯形OABD被夾在∠OAE內(nèi)的部分的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于∠OAB=90°，OA=2，AB=2，所以O(shè)B=4；
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021231541210581023/SYS201310212315412105810022_DA/1.png">=，所以=，OM=．
（2）由（1）得：OM=，即BM=．由于DB∥OA，易證==，故DB=1，D（1，2）．故過(guò)OD的直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是y=2x．
（3）依題意：當(dāng)0＜t≤時(shí)，E在OD邊上，分別過(guò)E，P作EF⊥OA，PN⊥OA，垂足分別為F和N，由于tan∠PON==，故∠PON=60°，OP=t，故ON=t，PN=t，直線OD所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是y=2x，
設(shè)E（n，2）易證得△APN∽△AEF，故=，故n=，由此，S_△OAE=OA•EF=×2×2×，
∴S=（0＜t≤）；
當(dāng)＜t＜4時(shí)，點(diǎn)E在BD邊上，此時(shí)，S_梯形OABD=S_△ABE+S_梯形OAED，
由于DB∥OA，易證：∴△EPB∽△APO，
∴=，
∴=，BE=，
可分別求出三角形的值．
解答：解：（1）∵∠OAB=90°，OA=2，AB=2，
∴OB=4，
∵=，
∴=，
∴OM=．

（2）由（1）得：OM=，
∴BM=，
∵DB∥OA，易證==，
∴DB=1，D（1，2），
∴過(guò)OD的直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是y=2x．

（3）依題意：當(dāng)0＜t≤時(shí)，E在OD邊上，
分別過(guò)E，P作EF⊥OA，PN⊥OA，垂足分別為F和N，
∵tan∠PON==，∴∠PON=60°，
OP=t．∴ON=t，PN=t，
∵直線OD所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是y=2，
設(shè)E（n，2）易證得△APN∽△AEF，
∴=，
∴=，
整理得：=，
∴8n-2nt=2t-nt，
∴8n-nt=2t，n（8-t）=2t，
∴n=．
由此，S_△OAE=OA•EF=×2×2×，
∴S=（0＜t≤），
當(dāng)＜t＜4時(shí)，點(diǎn)E在BD邊上，
此時(shí)，S_梯形OABD=S_△ABE+S_梯形OAED，
∵DB∥OA，
易證：△EPB∽△APO，
∴=，
∴=，
BE=，
S_△ABE=BE•AB=××2=×2==，
∴S=（1+2）×2-×2=3-×2=-+5，
綜上所述：S=．

（3）解法2：①∵∠AOB=90°，OA=2，AB=2，
易求得：∠ABO=30°，∴OB=4．
解法2：分別過(guò)E，P作EF⊥OA，PN⊥OA，垂足分別為F和N，
由①得，∠OBA=30°，
∵OP=t，
∴ON=t，PN=t，
即：P（t，t），又（2，0），
設(shè)經(jīng)過(guò)A，P的直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是y=kx+b，
則，
解得：k=，b=，
∴經(jīng)過(guò)A，P的直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是y=x+．
依題意：當(dāng)0＜t≤時(shí)，在OD邊上，
∴E（n，2n），在直線AP上，
∴-+=2n，
整理得：-=2n，
∴n=，
∴S=（0），
當(dāng)＜t＜4時(shí)，點(diǎn)E在BD上，此時(shí)，點(diǎn)E坐標(biāo)是（n，2），因?yàn)镋在直線AP上，
∴-+=2，
整理得：+=2∴8n-nt=2t，
∴n=，
BE=2-n=2-=，
∴S=（1+2）×2-×2=3-×2=-+5，
綜上所述：S=．
點(diǎn)評(píng)：本題比較復(fù)雜，難度較大，把一次函數(shù)的解析式與解直角三角形，三角形相似的性質(zhì)結(jié)合起來(lái)，鍛煉了學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力．