Question

【題目】已知如圖，矩形OABC放置于平面直角坐標系中，點O與原點重合，點A在x軸正半軸上，點C在y軸正半軸上，點B的坐標為（6，3），點D是邊BC上的一動點，連接OD，作點C關于直線OD的對稱點C′．

（1）若點C、C′、A在一直線上時，求點D的坐標；

（2）若點C′到矩形兩對邊所在直線距離之比為1：2時，求點C′的坐標；

（3）若連接BC′，則線段BC′的長度范圍是　 　．

Answer 1

【答案】（1）D（，3）；（2）點C′的坐標為（，2）或（2，1）；（3）3﹣3≤BC′≤6．

【解析】試題分析：（1）根據軸對稱的性質和矩形的性質易證∠DCE=∠COD，再求得CD的長，即可得點D的坐標；（2）分點C′到矩形OA邊與BC邊的距離之比為1：2和點C′到矩形BC邊與OA邊的距離之比為2：1兩種情況求點C′的坐標即可；（3）由OC′=OC，可知點C′在以O為圓心，以3為半徑的弧上（如圖）．當點D與點C或點B重合時，BC′有最大值．當點C′在直線OB上時，BC′有最小值．由此即可求得BC的取值范圍.

試題解析：

（1）如下圖所示：

∵點C、C′、A在一直線上，

∴tan∠BCC′==．

∵點C與點C′關于OD對稱，

∴OD⊥CC′．

∴∠DCE+∠CDE=90°．

∵∠CDE+∠COD=90°．

∴∠DCE=∠COD．

∴tan∠COD==，

∴CD=OC=．

∴D（，3）．

（2）設點C′的坐標為（x，y）．

由軸對稱的性質可知OC=OC′=3．

由兩點間的距離公式可知x2+y2=9．

點C′到矩形兩對邊所在直線距離之比為1：2時，

C′的縱坐標為2或1．

將y=2代入x2+y2=9得：x2+4=9，解得：x=或x=﹣（舍去），

∴C′（，2）．

將y=1代入x2+y2=9得：x2+1=9，解得：x=2或x=﹣2（舍去），

∴C′（2，1）．

綜上所述，點C′的坐標為（，2）或（2，1）．

（3）∵OC′=OC，

∴點C′在以O為圓心，以3為半徑的弧上．

如下圖所示：

當點D與點C或點B重合時，BC′有最大值，最大值=BD=6．

當點C′在直線OB上時，BC′有最小值．

在△ABO中，依據勾股定理可知OB==3．

∵OC′=OC=3，

∴BC′的最小值=BO﹣OC′=3﹣3．

∴線段BC′的長度范圍是3﹣3≤BC′≤6．

故答案為：3﹣3≤BC′≤6．