Question

如圖，在△ABC中，∠A=90°，O是BC邊上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心的半圓分別與AB、AC邊相切于D、E兩點(diǎn)，連接OD．已知BD=2，AD=3．
求：（1）tanC；
（2）圖中兩部分陰影面積的和．

Answer 1

分析：（1）連接OE，得到∠ADO=∠AEO=90°，根據(jù)∠A=90°，推出矩形ADOE，進(jìn)一步推出正方形ADOE，得出OD∥AC，OD=AD=3，∠BOD=∠C，即可求出答案；
（2）設(shè)⊙O與BC交于M、N兩點(diǎn)，由（1）得：四邊形ADOE是正方形，推出∠COE+∠BOD=90°，根據(jù)tanC=

2

3

，OE=3，求出EC=

9

2

，根據(jù)S_扇形DOM+S_扇形EON=S_扇形DOE，即可求出陰影部分的面積．

解答：解：（1）連接OE，
∵AB、AC分別切⊙O于D、E兩點(diǎn)，
∴AD⊥OD，AE⊥OE，
∴∠ADO=∠AEO=90°，
又∵∠A=90°，
∴四邊形ADOE是矩形，
∵OD=OE，
∴四邊形ADOE是正方形，
∴OD∥AC，OD=AD=3，
∴∠BOD=∠C，
∴在Rt△BOD中，tan∠BOD=

BD

OD

=

2

3

，
∴tanC=

2

3

．
答：tanC=

2

3

．

（2）如圖，設(shè)⊙O與BC交于M、N兩點(diǎn)，
由（1）得：四邊形ADOE是正方形，
∴∠DOE=90°，
∴∠COE+∠BOD=90°，
∵在Rt△EOC中，tanC=

2

3

=

OE

CE

，OE=3，
∴EC=

9

2

，
∴S_扇形DOM+S_扇形EON=S_扇形DOE=

1

4

S圓O=

1

4

π×32=

9

4

π，
∴S_陰影=S_△BOD+S_△COE-（S_扇形DOM+S_扇形EON）=

39

4

-

9

4

π，
答：圖中兩部分陰影面積的和為

39

4

-

9

4

π．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)正方形的性質(zhì)和判定，銳角三角函數(shù)的定義，扇形的面積，切線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．