Question

【題目】如圖，長方形OABC的OA邊在x軸的正半軸上，OC在y軸的正半軸上，拋物線y=ax2+bx經過點B（1，4）和點E（3，0）兩點．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點D在線段OC上，且BD⊥DE，BD=DE，求D點的坐標；
（3）在條件（2）下，在拋物線的對稱軸上找一點M，使得△BDM的周長為最小，并求△BDM周長的最小值及此時點M的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將點B（1，4），E（3，0）的坐標代入拋物線的解析式得： ，

解得： ，

拋物線的解析式為y=﹣2x2+6x

（2）

解：如圖1所示；

∵BD⊥DE，

∴∠BDE=90°．

∴∠BDC+∠EDO=90°．

又∵∠ODE+∠DEO=90°，

∴∠BDC=∠DE0．

在△BDC和△DOE中， ，

∴△BDC≌△DEO（AAS）．

∴OD=AO=1．

∴D（0，1）

（3）

解：如圖2所示：作點B關于拋物線的對稱軸的對稱點B′，連接B′D交拋物線的對稱軸與點M．

∵x=﹣ = ，

∴點B′的坐標為（2，4）．

∵點B與點B′關于x= 對稱，

∴MB=B′M．

∴DM+MB=DM+MB′．

∴當點D、M、B′在一條直線上時，MD+MB有最小值（即△BMD的周長有最小值）．

∵由兩點間的距離公式可知：BD= = ，DB′= = ，

∴△BDM的最小值= + ．

設直線B′D的解析式為y=kx+b．

將點D、B′的坐標代入得： ，

解得： ，

∴直線DB′的解析式為y= x+1．

將x= 代入得：y= ．

∴M（ ， ）

【解析】（1）將點B（1，4），E（3，0）的坐標代入拋物線的解析式，得到關于a、b的方程組，求得a、b的值，從而可得到拋物線的解析式；（2）依據同角的余角相等證明∠BDC=∠DE0，然后再依據AAS證明△BDC≌△DEO，從而得到OD=AO=1，于是可求得點D的坐標；（3）作點B關于拋物線的對稱軸的對稱點B′，連接B′D交拋物線的對稱軸與點M．先求得拋物線的對稱軸方程，從而得到點B′的坐標，由軸對稱的性質可知當點D、M、B′在一條直線上時，△BMD的周長有最小值，依據兩點間的距離公式求得BD和B′D的長度，從而得到三角形的周長最小值，然后依據待定系數法求得D、B′的解析式，然后將點M的橫坐標代入可求得點M的縱坐標．
【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數的圖象(二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點)，還要掌握二次函數的性質(增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小)的相關知識才是答題的關鍵．