Question

已知: 如圖， AB是⊙O的直徑，⊙Ｏ過AC的中點D， DE切⊙Ｏ于點D， 交BC于點E．
 
（１）求證： DE⊥BC；
（２）如果CD＝4，CE＝3，求⊙Ｏ的半徑．

Answer 1

證明：(1)連結OD

∵DE切⊙O于點D
∴DE⊥OD, ∴∠ODE＝90⁰   又∵AD＝DC, AO＝OB
∴OD//BC
∴∠DEC＝∠ODE＝90⁰, ∴DE⊥BC   
(2)連結BD.

∵AB是⊙O的直徑, ∴∠ADB＝90⁰        
∴BD⊥AC, ∴∠BDC＝90⁰
又∵DE⊥BC, △RtCDB∽△RtCED          
∴, ∴BC＝ 
又∵OD＝BC
∴OD＝, 即⊙O的半徑為

本題由已知DE是⊙O的切線，可聯想到常作的一條輔助線，即“見切點，連半徑，得垂直”，然后再把要證的垂直與已有的垂直進行聯系，即可得出證法．