Question

【題目】（1）如圖（1），在△ABC，AB=AC，O為△ABC內一點，且OB=OC，求證：直線AO垂直平分BC．以下是小明的證題思路，請補全框圖中的分析過程．

（2）如圖（2），在△ABC中，AB=AC，點D、E分別在AB、AC上，且BD=CE．請你只用無刻度的直尺畫出BC邊的垂直平分線（不寫畫法，保留畫圖痕跡）．

（3）如圖（3），在五邊形ABCDE中，AB=AE，BC=DE，∠B=∠E，請你只用無刻度的直尺畫出CD邊的垂直平分線，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

試題分析：（1）根據線段垂直平分線的性質定理的逆定理，只要AB=AC，OB=OC即可說明直線AO垂直平分BC；

（2）連結BE、CD相交于點O，則直線AO為BC邊的垂直平分線；

（3）連結BD、CE相交于點O，則直線AO為CD邊的垂直平分線．先證明ABC≌△AED得到AC=AD，∠ACB=∠ADE，根據等腰三角形的性質得∠ACD=∠ADC，所以∠BCD=∠EDC，再證明△BCD≌△ECD，則∠BDC=∠ECD，所以OD=OC，于是根據線段垂直平分線定理的逆定理即可判斷直線AO為CD邊的垂直平分線．

解：（1）

（2）如圖（2），AO為所作；

（3）如圖（3），AO為所作．

在△ABC和△AED中

，

∴△ABC≌△AED，

∴AC=AD，∠ACB=∠ADE，

∴∠ACD=∠ADC，

∴∠BCD=∠EDC，

在△BCD和△EDC中，

，

∴△BCD≌△ECD，

∴∠BDC=∠ECD，

∴OD=OC，

∴AO垂直平分CD．